六十面体

在几何学中，六十面体是指有60个面的多面体^[1]，在六十面体当中没有任何一个形状是正多面体，换言之即正六十面体并不存在，也不存在六十个面的均匀多面体^[2]，但仍有许多由正多边形组成的六十面体，例如五十八角柱、五十九角锥等，也有一些接近球状但并非由正多边形组成的六十面体，其中对称性较高的凸多面体是五角化十二面体、筝形六十面体、五角六十面体和三角化二十面体等卡塔兰立体、亦存在一些非凸六十面体，如完全星形二十面体的对偶多面体^[3]和菱形六十面体等立体。^[1]

六十面体

部分的六十面体
五边形六边形五角 十二面七十四面体 的对偶多面体	完全星形二十面体 的对偶多面体
菱形六十面体	五角化十二面体
五角六十面体	三角化二十面体

3 sources

常见的六十面体

12 sources

卡塔兰立体

部分卡塔兰立体具有60个面。^[4]

五角化十二面体

筝形六十面体

五角六十面体（左旋）

五角六十面体（右旋）

三角化二十面体

1 sources

均匀多面体对偶

部分均匀多面体的对偶多面体，即均匀多面体对偶具有60个面。^[5]

小十二面二十面六十面体（英语：Small dodecicosacron）	大十二面二十面六十面体	小星形菱形十二面体（英语：Small rhombidodecacron）	大菱形十二面六十面体（英语：Great rhombidodecacron）	小十二角星化六十面体（维基数据所列：Q18048505）
大十二角星化六十面体（英语：Great dodecacronic hexecontahedron）	斜方星形二十面体	小二十角星化六十面体（英语：Small icosacronic hexecontahedron）	内侧二十角星化六十面体（英语：Medial icosacronic hexecontahedron）	大二十角星化六十面体（英语：Great icosacronic hexecontahedron）
小星形五角化十二面体	大星形五角化十二面体	大五角化十二面体	大三角化二十面体（英语：Great triakis icosahedron）	小双三角十二角星化六十面体（英语：Small ditrigonal dodecacronic hexecontahedron）
大双三角十二角星化六十面体（英语：Great ditrigonal dodecacronic hexecontahedron）	中筝形六十面体（英语：Medial deltoidal hexecontahedron）	大凧形六十面体（英语：Great deltoidal hexecontahedron）	中五角六十面体（英语：Medial pentagonal hexecontahedron）	大五角六十面体（英语：Great pentagonal hexecontahedron）
中逆五角六十面体（英语：Medial inverted pentagonal hexecontahedron）	大逆五角六十面体（维基数据所列：Q18048506）	大五角星六十面体（英语：Great pentagrammic hexecontahedron）	小六角六十面体（英语：Small hexagonal hexecontahedron）	中六角六十面体（英语：Medial hexagonal hexecontahedron）
大六角六十面体（英语：Great hexagonal hexecontahedron）	小六角星六十面体（英语：Small hexagrammic hexecontahedron）

1 sources

多面体的星形化体

部分多面体的星形化体或其对偶多面体具有60个面。^[6][3]

菱形六十面体[6]

大稀有三角六十面体 （完全星形二十面体的对偶多面体）[3]

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詹森多面体对偶

詹森多面体中并无立体具备60个面，然而有4种詹森多面体具备60个顶点。^[7]根据对偶多面体的定义，多面体的对偶多面体其面数将会是原始多面体的顶点数，^[8]因此有4个詹森多面体的对偶多面体具有60个面。

康威多面体表示法	dJ72 （60面体）	dJ73 （60面体）	dJ74 （60面体）	dJ75 （60面体）
图像
对偶多面体
	单旋侧帐塔小斜方截半二十面体（英语：Gyrate rhombicosidodecahedron） （62面体）	对二旋侧帐塔小斜方截半二十面体（英语：Parabigyrate rhombicosidodecahedron） （62面体）	邻二旋侧帐塔小斜方截半二十面体（英语：Metabigyrate rhombicosidodecahedron） （62面体）	三旋侧帐塔小斜方截半二十面体（英语：Trigyrate rhombicosidodecahedron） （62面体）

2 sources

五边形六边形五角十二面七十四面体对偶

五边形六边形五角十二面七十四面体的对偶多面体也是一种六十面体，由60个面、132条边和74个顶点组成。

• 
  五边形六边形五角十二面七十四面体的对偶多面体
• 
  与之对应的五边形六边形五角十二面七十四面体

五十九角锥

五十九角锥是一种底面为五十九边形的锥体，其具有60个面、118条边和60个顶点，其对偶多面体是自己本身^[9]。正五十九角锥是一种底面为正五十九边形的五十九角锥，在施莱夫利符号中可以用{}∨{59}来表示。底边长为${\displaystyle s}$、高为${\displaystyle h}$的正五十九角锥体积${\displaystyle V}$和表面积${\displaystyle S}$为^[9]：

${\displaystyle V={\frac {59hs^{2}\cot {\frac {\pi }{59}}}{12}}\approx 92.2491hs^{2}}$

${\displaystyle S={\frac {59s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{59}}}}+s\cot {\frac {\pi }{59}}\right)}{4}}\approx 14.75s\left({\frac {4h^{2}+352.033s^{2}}{+}}18.7625s\right)}$

1 sources

五十八角柱

五十八角柱是一种底面为五十八边形的柱体，由60个面、174条边和116个顶点组成^[10]。正五十八角柱代表每个面都是正多边形的五十八角柱，在施莱夫利符号中可用t{2,58}表示^[10]，在考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以用来表示，在威佐夫符号（英语：Wythoff symbol）中可以利用2 58 | 2来表示，在康威多面体表示法中可以利用P58来表示，其每个顶点都是2个正方形和1个五十八边形的公共顶点，顶点图以${\displaystyle 4{.}4{.}58}$表示。边长为${\displaystyle a}$的正五十八角柱体积${\displaystyle V}$和表面积${\displaystyle S}$为^[10]：

${\displaystyle V={\frac {29a^{3}\cot {\frac {\pi }{58}}}{2}}\approx 267.437a^{3}}$

${\displaystyle S=58a^{2}\left(1+{\frac {\cot {\frac {\pi }{58}}}{2}}\right)\approx 592.874a^{2}}$

1 sources

三十方偏方面体

三十方偏方面体是反三十角柱的对偶多面体，由30个筝形组成，共有60个面、120条边和62个顶点。

双三十角锥

双三十角锥是三十角柱的对偶多面体，由60个三角形组成，共有60个面、90条边和32个顶点^[11]。双锥体可以视为由2个锥体底面对底面叠合而成^[12][13]，因此双三十角锥可以视为由两个三十角锥相叠而成，因此体积为三十角锥的两倍，而三十角锥的体积为${\displaystyle V={\tfrac {5}{2}}hs^{2}\cot {\tfrac {\pi }{30}}\approx 23.7859hs^{2}}$^[14]，而锥高为${\displaystyle h}$的双三十角锥对应到的三十角锥锥高仅有一半，因此双三十角锥的体积为：

${\displaystyle V=2\times {\frac {5}{2}}\left({\frac {h}{2}}\right)s^{2}\cot {\frac {\pi }{30}}\approx 23.7859hs^{2}}$

4 sources

反二十九角柱

反二十九角柱是一种底面为二十九边形（日语：二十九角形）的柱体，由60个面、116条边和58个顶点组成^[15]。正二十九反角柱代表每个面都是正多边形的反二十九角柱，在施莱夫利符号中可用${\displaystyle s\left\{{\begin{matrix}2\\29\end{matrix}}\right\}}$表示^[15]，其每个顶点都是2个正方形和1个二十九边形的公共顶点，顶点图以${\displaystyle 2{.}2{.}58}$表示。边长为${\displaystyle a}$的正二十九反角柱体积${\displaystyle V}$和表面积${\displaystyle S}$为^[15]：

${\displaystyle V={\frac {29a^{3}{\left(2-{\frac {1}{1+\cot {\frac {\pi }{29}}}}\right)}^{\frac {3}{2}}\cot {\frac {\pi }{58}}}{12{\sqrt {2}}}}\approx 57.8167a^{3}}$

${\displaystyle S={\frac {29a^{2}\left({\sqrt {3}}+\cot {\frac {\pi }{29}}\right)}{2}}\approx 158.44a^{2}}$

1 sources

参见

• 均匀多面体

参考文献

1. Weisstein, Eric W. (编). Hexecontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
2. Brinkmann, Gunnar and Deza, Michel. Lists of face-regular polyhedra. Journal of chemical information and computer sciences (ACS Publications). 2000, 40 (3): 530–541.
3. Inchbald, G. Towards stellating the icosahedron and faceting the dodecahedron. Symmetry: Culture and Science. 2000, 11: 1–4.
4. Catalan, Eugène. Mémoire sur la théorie des polyèdres. Journal de l'École Polytechnique (Gauthier-Villars). 1865, 24: 1–71. ISSN 0368-2013 （法语）.
5. Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208
6. Kabai, Sándor. "Mathematical Graphics I: Lessons in Computer Graphics Using Mathematica.". Püspökladány, Hungary: Uniconstant. 2002: pp. 171, 179, 181. 引文格式1维护：冗余文本 (link)
7. Gagnon, Silvain. Convex polyhedra with regular faces (PDF). Structural Topology, 1982, núm. 6 (Université du Québec à Montréal). 1982 [2021-08-23]. （原始内容 (PDF)存档于2017-12-12）.
8. Weisstein, Eric W. (编). Dual Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
9. Wolfram, Stephen. "59-gonal pyramid". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
10. Wolfram, Stephen. "58-gonal prism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
11. Wolfram, Stephen. "30‐dipyramid". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
12. The 48 Special Crystal Forms. 2013-09-18 [2020-11-18]. （原始内容存档于18 September 2013）.
13. Crystal Form, Zones, Crystal Habit. Tulane.edu. [16 September 2017]. （原始内容存档于2013-09-01）.
14. Wolfram, Stephen. "30-gonal pyramid". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
15. Wolfram, Stephen. "29-gonal antiprism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 六十面體. MathWorld.