數學上,序拓撲是可以定義在任意全序集上的拓撲結構。 此為將實數的拓撲結構推廣到任意全序集上所得。 具有此種拓撲結構的拓撲空間稱為序空間。
此條目包含過多行話或專業術語,可能需要簡化或提出進一步解釋。 (2018年3月27日) |
此條目需要補充更多來源。 (2021年7月7日) |
如果 X 為全序集,則 X 的序拓撲由無界開區間
組成的準基生成,其中 a,b 取遍 X 的所有元素。這等價於,開區間
連同上述無界開區間組成序拓撲的一組基,換言之, X 內的開集可寫成該些開區間和無界開區間的(允許無窮)並。
若可對一個拓撲空間 X 的元素定義一個全序,使得該全序給出的序拓撲就是 X 自身的拓撲,則稱 X 為可序化的 。 X 上的序拓撲使 X 成為一個完全正規的豪斯多夫空間。
實數集 、有理數集 、整數集 和自然數集 上的標準拓撲均為序拓撲。然而,無理數集 上的標準拓樸並不是序拓樸。雖然有理數集 和無理數集 都是稠密有序(Dense order)的,但無理數集 作為實數集 的子集,其上的拓樸是透過實數集 中的開集與無理數集的交集來定義的(即 子空間拓樸)。在這種情況下,無法僅用無理數集 自然地定義開區間來產生序拓撲。相較之下,有理數集 中的開區間可以直接透過其順序來定義,從而形成序拓撲。
誘導拓撲
若 Y 為 X 的子集,則 Y 繼承了 X 的全序。Y 因此具有序拓撲結構, 稱為導出拓撲。作為 X 的子集,Y 還有一個子空間拓撲。子空間拓撲至少比誘導拓撲更精細,但一般情況下它們不相同。
例如,考慮有理數集的子集 Y ={-1} ∪ {1/n}n∈N 。 在子空間拓撲中,單元集 {-1} 在 Y 中是開集,但在誘導拓撲中,任何含有 -1 的開集都必須包含 Y (除有限個以外)的所有元素。
全序空間的子空間拓撲不一定可序化
雖然上述 Y ={-1} ∪ {1/n}n∈N 的子空間拓撲不是由 Y 的誘導排序產生,它仍是 Y 上的序拓撲;事實上,在子空間拓撲中,每一點都是孤立的(即,單元集 {y} 是 Y 的開集),故子空間拓撲是 Y 上的離散拓撲(使得每一個子集都是 Y 的開集),而任何集上的離散拓撲都是序拓撲。要定義 Y 的全序使得其產生的序拓撲是 Y 上的離散拓撲,只需修改 Y 上的誘導排序,使得 -1 是最大的元素,並保持其他元素的大小次序。於是,在新的排序(稱為 <1 )中,有 1/n <1 -1 對任意 n∈N 均成立。這樣,<1 在 Y 中給出的序拓撲是離散的。
以下將定義一個序空間 X 及其子集 Z ,使得不存在 Z 上的全序給出一個序拓撲與 Z 的子空間拓撲完全一樣。換言之,儘管該子空間拓撲為某序空間的子空間拓撲,其不為序拓撲。
取 為實數軸的子集。同上可知,Z 上的子空間拓撲不等於 Z 上誘導的序拓撲。且可證,Z 上的子空間拓撲不等於 Z 上的任何序拓撲。
用反證法。假設 Z 有一個嚴格全序 < ,使得 < 給出的序拓撲等於 Z 的子空間拓撲(注意,並未假定 < 是 Z 上的誘導排序,即 < 可以是任意一種新的全序)。區間也相應地按 < 理解,下同。 此外,如果 A 和 B 是集合,則 表示:對任意 A 的元素 a 和 B 的元素 b ,都有 。
設 M=Z \{-1} 為單位開區間,則 M 連通。若 m,n ∈ M 且 m<-1<n ,則 和 是 M 的分隔,矛盾。因此,M<{-1} 或者 {-1}<M 。不妨設 {-1}<M 。因 {-1} 是 Z 的開集,存在 M 中的一點 p 使得 (-1, p ) 為空。又因 {-1}<M ,-1 是唯一小於 p 的元素,因此 p 是 M 中最小的。但這樣,M \ {p}=A ∪ B,其中 A 和 B 是實軸上不相交的兩個開集(從實軸上的開區間去除一點,剩下的是兩個開區間)。由連通性,沒有 Z \B 中的點在排序後介於 B 的兩點之間,也沒有 Z \A 中的點在排序後介於 A 的兩點之間。因此,任何一個 A<B 或 B<A. 又不妨設 A<B. 如果 a 為 A 中任何一點,則 p<a ,且 (p, a)A. 又 (-1, a) = [p, a),因此 [p, a) 是開集。而 {p}∪A = [p, a)∪A,因此 {p }∪A 是 M 的開子集,因此 M = ({p }∪A) ∪ B 把 M 分割成兩個不相交的開集,這與 M 連通矛盾。
拓撲結構為序拓撲的空間稱為序空間,而序空間的子空間稱為廣義序空間。因此,以上例子 Z 是一個廣義序空間,但不是一個序空間。
左、右序拓撲
類似的拓撲結構有:
- X 上的右序拓撲,其具有 (a, ∞) 形式的開集(包括 (-∞, ∞) )。[1]
- X 上的左序拓撲,其具有 (−∞, b) 形式的開集(包括 (-∞, ∞) )。
左序拓撲和右序拓撲可作為點集拓撲學上的一些反例。例如,有界集上的左序拓撲或右序拓撲是緊空間,但不是豪斯多夫的。
集合論裏,左序拓撲給出一個布爾代數上的標準拓撲。
序數空間
對於任何序數 λ ,序數集
具有自然的序拓撲結構。這種拓撲空間空間稱為序數空間。(注意,按照集合論通常構造序數的方法,有 λ =[0,λ) 和 λ +1=[0,λ] )顯然,當 λ 為無窮序數時,情況較複雜;否則,對於有限的序數,其序拓撲是簡單的離散拓撲。
當 λ = ω (最小的無窮序數)時,空間 [0,ω) 只是 N 及其往常的離散拓撲,而 [0,ω] 則是單點緊化的 N 。
當 λ = ω1 (即所有可數序數組成的集合)時,情況有所不同。元素 ω1 是子集 [0,ω1) 的極限點,但不存在 [0,ω1) 中的序列以 ω1 為極限。確切地說,[0,ω1]不是第一可數的。然而,子空間 [0,ω1) 是第一可數的,因為唯一無可數鄰域系的點是 ω1. 其他性質包括
參見
參考資料
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.