小十二面截半二十面體

在幾何學中，小十二面截半二十面體是一種由正五邊形、正十邊形和正三角形組成的星形均勻多面體，外觀與小斜方截半二十面體十分相似^[6]:110，其索引為U₃₃，是小十二角星化六十面體（維基數據所列：Q18048505）的對偶多面體^[4]，具有二十面體群對稱性（英語：Icosahedral symmetry）^[7]，可以視為小斜方截半二十面體的刻面（英語：Faceting）多面體。^[5][8]在考克斯特—迪肯符號（英語：Coxeter-Dynkin diagram）中，小十二面截半二十面體可以表示為^[1]，在威佐夫記號中可以表示為3⁄2 5 | 5^[2][3][4]。

提示：此條目頁的主題不是小十二面半二十面體。

小十二面截半二十面體

類別	均勻星形多面體
對偶多面體	小十二角星化六十面體（維基數據所列：Q18048505）
識別
名稱	小十二面截半二十面體 Small dodecicosidodecahedron
參考索引	U33, C42, W72
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	saddid[5]
數學表示法
考克斯特符號 （英語：Coxeter-Dynkin diagram）	[1]
威佐夫符號 （英語：Wythoff symbol）	3⁄2 5 | 5[2][3][4] 3 5⁄4 | 5
性質
面	44
邊	120
頂點	60
歐拉特徵數	F=44, E=120, V=60 （χ=-16）
組成與佈局
面的種類	20個正三角形 12個正五邊形 12個正十邊形
頂點圖	5.10.3/2.10
對稱性
對稱群	Ih, [5,3], *532
圖像
5.10.3/2.10 （頂點圖） 小十二角星化六十面體（維基數據所列：Q18048505） （對偶多面體）
閱 論 編

性質

小十二面截半二十面體是一種非凸均勻多面體，由44個面、120條邊和60個頂點組成^[7]。在其44個面中，有20個正三角形面、12個正五邊形面和12個正十邊形面^[8][9]。

尺寸

令小十二面截半二十面體邊長為單位長，則其外接球半徑為：^[10]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}{2}}}$

二面角

小十二面截半二十面體有兩種二面角，分別為十邊形面和五邊形面的交角以及十邊形面和三角形面的交角。^[9][5]

其中，十邊形面和五邊形面的交角約為116.565度：^[5]

${\displaystyle \arccos \left({\frac {-{\sqrt {5}}}{5}}\right)\approx 2.0344439357957\approx 116.565051177^{\circ }}$^[9]

十邊形面和三角形面的交角約為37.377度：^[5]

${\displaystyle \arccos \left({\frac {\sqrt {15\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)=\arccos \left({\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\approx 0.6523581\approx 37.377368^{\circ }}$^{[9][11][12][5]}

分類

由於小十二面截半二十面體的頂點圖為交叉梯形且具備點可遞的特性，同時，其存在自相交的面，因此小十二面截半二十面體是一種自相交擬擬正多面體（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）。自相交擬擬正多面體一共有12種^[13]，除了小雙三角十二面截半二十面體外，其餘由阿爾伯特·巴杜羅（Albert Badoureau）於1881年發現並描述。^[14]

自相交擬擬正多面體
（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）

小立方立方八面體	大立方截半立方體	非凸大斜方截半立方體	小十二面截半二十面體
大十二面截半二十面體	小雙三角十二面截半二十面體	大雙三角十二面截半二十面體	二十面化截半大十二面體
小二十面化截半二十面體	大二十面化截半二十面體	斜方截半大十二面體	非凸大斜方截半二十面體

相關多面體

小十二面截半二十面體與小星形截角十二面體與均勻的6（英語：Compound_of_six_pentagrammic_prisms）和12複合五角星柱（英語：Compound_of_twelve_pentagrammic_prisms）共用相同的頂點佈局^[8]。其亦與小斜方截半二十面體和小斜方十二面體共用相同的邊佈局。^[5]

小斜方截半二十面體	小十二面截半二十面體	小斜方十二面體
小星形截角十二面體	六複合五角星柱（英語：Compound_of_six_pentagrammic_prisms）	十二複合五角星柱（英語：Compound_of_twelve_pentagrammic_prisms）

參考文獻

1. Richard Klitzing. polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-07-27]. （原始內容存檔於2018-07-07）. β3o5x - saddid
2. George W. Hart. Uniform Polyhedra. 1996 [2022-07-27]. （原始內容存檔於2018-09-19）.
3. Vladimir Bulatov. small dodecicosidodecahedron. Polyhedra Collection. [2022-07-27]. （原始內容存檔於2021-02-28）.
4. Weisstein, Eric W. (編). Small Dodecicosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
5. Richard Klitzing. saddid, small dodekicosidodecahedron. bendwavy.org. [2022-07-27]. （原始內容存檔於2019-10-30）.
6. Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始內容存檔於2021-08-31）.
7. Maeder, Roman. 33: small dodecicosidodecahedron. MathConsult. [2022-07-27]. （原始內容存檔於2022-07-03）.
8. Robert Webb. Small Dodecicosidodecahedron. software3d.com. [2022-07-30]. （原始內容存檔於2017-11-28）.
9. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra: Small Dodecicosidodecahedron. [2022-07-27]. （原始內容存檔於2022-02-14）.
10. Eric W. Weisstein. Small Dodecicosidodecahedron. archive.lib.msu.edu. 1999-05-26 [2022-07-30]. （原始內容存檔於2021-12-05）.
11. Wolfram, Stephen. "acos(sqrt(15*(5+2*sqrt(5)))/15)". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英語）.
12. Wolfram, Stephen. "acos(sqrt(15*(5+2*sqrt(5)))/15) = arccos(sqrt[(5+2 sqrt(5))/15])". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英語）.
13. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra. [2022-08-02]. （原始內容存檔於2022-08-22）.
14. Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.