二面角

二面角（英語：dihedral angle）是兩個相交平面之間的夾角。在立體幾何中，它被定義為一條直線和兩個半平面的併集，這條直線是兩個半平面的公共邊。在高維中，二面角表示兩個超平面之間的夾角。^[1]

在第三個平面（粉紅色）中的兩個平面（α，β，綠色）之間的角度以直角切割相交線

在化學中，二面角是分子中的兩個分別由三個原子組成的平面之間的夾角，一共涉及四個原子，公共邊是一個化學鍵（兩個原子），平面則由另兩個原子分別與該化學鍵構成。

立體幾何

一條直線和兩個半平面的併集組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。

由直線 ${\displaystyle l}$ 、半平面 ${\displaystyle \alpha }$ 和半平面 ${\displaystyle \beta }$ 組成的二面角，記作：「二面角${\displaystyle \alpha -l-\beta }$ 」，也可記作「${\displaystyle ^{2}\angle l}$」。

也可在直線 ${\displaystyle l}$ 外、半平面 ${\displaystyle \alpha }$ 和半平面 ${\displaystyle \beta }$ 內，分別取點${\displaystyle P}$和點${\displaystyle Q}$，將這個二面角記作「二面角${\displaystyle P-l-Q}$」。

在 二面角${\displaystyle \alpha -l-\beta }$ 的棱 ${\displaystyle l}$ 上任取一點${\displaystyle O}$，以點${\displaystyle O}$為垂足，在半平面 ${\displaystyle \alpha }$ 和 ${\displaystyle \beta }$ 內分別作射線 ${\displaystyle OA}$ 和射線 ${\displaystyle OB}$ 垂直於棱 ${\displaystyle l}$ ，那麼射線${\displaystyle OA}$ 和射線${\displaystyle OB}$ 所構成的 ${\displaystyle \angle AOB}$ 叫做二面角的平面角。^[2]

建立二面角的平面角

在非解析幾何方法中，常通過建立二面角的平面角，通過求出平面角的大小，來求出二面角的大小：

${\displaystyle \because AB\perp OB}$

${\displaystyle \therefore OB}$ 為${\displaystyle OA}$在平面 ${\displaystyle \beta }$ 中的射影。

${\displaystyle \because OA\perp l,OB\perp l}$

${\displaystyle \therefore \angle AOB}$ 是二面角${\displaystyle \alpha -l-\beta }$ 的平面角。

解析幾何

若兩個相交平面在笛卡爾坐標中的方程分別為

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}$

${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\,\,,}$

則它們之間的二面角 ${\displaystyle \varphi }$ 為：

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\right\vert }{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}\,\,.}$

另一種方法是計算兩個平面的法向量n_A和n_B之間的夾角：

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\right\vert }{|\mathbf {n} _{\mathrm {A} }||\mathbf {n} _{\mathrm {B} }|}}\,\,,}$

其中n_A • n_B是兩個向量的點積，|n_A| |n_B|是兩個向量的模的乘積。^[3]

任何平面也可以由位於該平面的兩個非共線向量來描述；他們的叉積是平面的法向量。因此，二面角可以由三個向量b₁、b₂和b₃定義，形成兩對非共線向量：^[4]

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} \left({\big (}[\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}]\times [\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}]{\big )}\cdot {\frac {\mathbf {b} _{2}}{|\mathbf {b} _{2}|}}\,\,,\,\,[\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}]\cdot [\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}]\right)\,\,,}$

其中atan2是二個參數的反正切函數變體，一般而言，atan2(y, x) 等價於 atan(y/x)。

立體化學

參見：烷烴立體化學和構象異構

構象名稱	syn-正丁烷 紐曼投影	syn-正丁烷 鋸木架投影

正丁烷的自由能圖作為二面角的函數

在化學中，扭轉角（英語：torsion angle）被定義為二面角的特定例子，描述了通過化學鍵連接的分子的兩個部分的幾何關係。^[5][6]

在立體化學中，分子中的每三個（非共線）原子都決定了一個平面。當兩個這樣的平面相交時，它們之間的角度便是二面角。二面角用於描述具體的分子構象^[7]。角度在0°和±90°之間的立體化學構象被稱為syn（s，順）；在±90°和180°之間的為anti（a，反）。類似地，角度在30°和150°之間或-30°和-150°之間的被稱為clinal（c，錯），而在0°和±30°或±150°和180°之間的被稱為periplanar（p，疊）。

這兩種術語可以組合起來，以定義四個角度範圍：0°至±30°為順疊（sp）；30°至90°和-30°至-90°為順錯（sc）；90°至150°和-90°至-150°為反錯（ac）；±150°至180°為反疊（ap）。順疊構象也被稱為順式（syn-或cis-）構象；反疊構象也被稱為反式（anti-或trans-）構象；順錯構象也被稱為鄰位交叉、間扭（gauche或skew）構象。

例如，對於正丁烷，可以用兩個中心碳原子和任一個甲基碳原子來分別指定兩個平面。本節開頭（上圖）所示的syn-構象具有60°的二面角，比180°二面角的anti-構象更不穩定。

對於大分子使用，建議使用符號T，C，G⁺，G^-，A⁺和A^-分別表示ap，sp，+sc，-sc，+ac和-ac。^[5]

蛋白質

描述蛋白質，顯示骨架二面角

拉氏圖（也稱為Ramachandran圖或[φ,ψ]圖），由G·N·Ramachandran、C·Ramakrishnan和V·Sasisekharan在1963年最初開發^[8]，是一種形象化蛋白質結構中能量（位阻）允許的氨基酸殘基的二面角ψ與φ的關係的方式。右圖展示了骨架二面角φ和ψ的定義^[9]（Ramachandran稱為φ和φ'）。

在蛋白質鏈中，三個二面角被定義為φ（phi），ψ（psi）和ω（omega），如圖所示。肽鍵的平面性通常使得ω被限制為180°（典型trans情況）或0°（罕見cis情況）。trans和cis異構體的α-碳之間的距離分別為大約3.8和2.9 Å。cis異構體主要在Xaa-Pro肽鍵（其中Xaa是任何氨基酸）中觀察到。

側鏈二面角傾向於聚集在180°，60°和-60°附近，稱為trans，gauche⁺和gauche^-構象。某些側鏈二面角的穩定性受到φ和ψ值的影響^[10]。例如，當ψ接近-60°時，gauche⁺旋轉異構體的側鏈中的γ-碳和下一個殘基的氮之間就會有直接的位阻相互作用^[11]。

從二面角轉換為鏈中的笛卡爾坐標

在聚合物特別是蛋白質中，常常用內部坐標來描述主鏈，也即把二面角和鍵長按照順序列表。但是，某些類型的計算化學反而使用笛卡爾坐標。在計算結構最佳化中，一些程序需要在迭代過程中在這些表示法之間來迴轉換，這項工作可能佔用大部分計算時間。對於有很多迭代或長鏈的過程，它也可能引入累積的數值不準確性。雖然所有的轉換算法會產生數學上相同的結果，但它們的運算速度和數字精度不同。^{[12][需要非第一手來源]}

幾何

每個多面體在每條邊上都有一個二面角，用於描述以該邊為公共邊的兩個面的關係。該二面角也被稱為面角，其計算的是多面體的內角。面角0°意味着兩個面法向量是反向平行的，而且兩個面相互重疊，這意味着它是退化多面體的一部分。面角為180°意味着這些面是平行的，如在鑲嵌中。在多面體的凹部，可以存在大於180°的面角，在基礎數學二面角的取值範圍上有爭議目前認為取值為[0，180]。

邊遞移多面體中的每個二面角大小相同。這包括5個正多面體，4個星型正多面體，兩個擬正多面體和兩個擬正對偶多面體。

給定一個在共同頂點P上相交且具有邊AP、BP和CP的多面體的三個面，包含APC和BPC的面之間的二面角的餘弦為：^[13]

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\cos(\angle \mathrm {APB} )-\cos(\angle \mathrm {APC} )\cos(\angle \mathrm {BPC} )}{\sin(\angle \mathrm {APC} )\sin(\angle \mathrm {BPC} )}}\,\,.}$

參見

• 阻轉異構
• 順反異構

參考資料

1. Olshevsky, George, Dihedral angle at Glossary for Hyperspace.
2. 2.3.2平面与平面垂直的判定. 普通高中課程標準實驗教科書 數學2 必修 A版. 普通高中課程標準實驗教科書 數學2 必修 A版: 68. ISBN 978-7-107-17706-4.
3. Angle Between Two Planes. TutorVista.com. [2018-07-06]. （原始內容存檔於2020-10-28）. （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
4. Blondel, Arnaud; Karplus, Martin. New formulation for derivatives of torsion angles and improper torsion angles in molecular mechanics: Elimination of singularities. Journal of Computational Chemistry. 7 Dec 1998, 17 (9): 1132–1141 [2018-07-08]. doi:10.1002/(SICI)1096-987X(19960715)17:9<1132::AID-JCC5>3.0.CO;2-T. （原始內容存檔於2018-02-03）. （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
5. 國際純化學和應用化學聯合會，化學術語概略，第二版。（金皮書）(1997)。在線校正版: (2006–) "Torsion angle"。doi:10.1351/goldbook.T06406
6. 國際純化學和應用化學聯合會，化學術語概略，第二版。（金皮書）(1997)。在線校正版: (2006–) "Dihedral angle"。doi:10.1351/goldbook.D01730
7. Anslyn, Eric; Dennis Dougherty. Modern Physical Organic Chemistry. University Science. 2006: 95. ISBN 978-1891389313.
8. Ramachandran, G. N.; Ramakrishnan, C.; Sasisekharan, V. Stereochemistry of polypeptide chain configurations. Journal of Molecular Biology. 1963, 7: 95–9. PMID 13990617. doi:10.1016/S0022-2836(63)80023-6.
9. Richardson, J. S. Anatomy and Taxonomy of Protein Structures. Advances in Protein Chemistry. Advances in Protein Chemistry. 1981, 34: 167–339. ISBN 9780120342341. PMID 7020376. doi:10.1016/S0065-3233(08)60520-3.
10. Dunbrack, RL Jr.; Karplus, M. Backbone-dependent rotamer library for proteins. Application to side-chain prediction.. Journal of Molecular Biology. 20 March 1993, 230 (2): 543–74. PMID 8464064. doi:10.1006/jmbi.1993.1170.
11. Dunbrack, RL Jr; Karplus, M. Conformational analysis of the backbone-dependent rotamer preferences of protein sidechains.. Nature Structural Biology. May 1994, 1 (5): 334–40. PMID 7664040. doi:10.1038/nsb0594-334.
12. Parsons, J.; Holmes, J. B.; Rojas, J. M.; Tsai, J.; Strauss, C. E., Practical conversion from torsion space to cartesian space for in silico protein synthesis, Journal of Computational Chemistry, 2005, 26: 1063–1068, PMID 15898109, doi:10.1002/jcc.20237
13. dihedral angle calculator polyhedron. www.had2know.com. [2015-10-25]. （原始內容存檔於2015-11-25）. （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

外部連結

• 木工中的二面角 - Tips.FM
• 5個正多面體的分析（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館），給出了這些精確值的逐步推導