雙罩帳

在幾何學中，雙罩帳又稱為雙丸塔（birotunda），是指一系列屬於二面體群的多面體，由兩個罩帳通過邊數較大的底面以底面對底面的方式貼合而成^[1]。 其與雙帳塔（英語：Bicupola (geometry)）類似但不是正方形和三角形交替構成，而是五邊形和三角形交替並繞軸構成。雙罩帳有兩種形式，分別為以相同相位疊合，稱為同相雙罩帳（orthobirotunda）^[2]， 和以相異相位疊合，稱為異相雙罩帳（gyrobirotunda）^[2]。 同相雙罩帳可以視為罩帳以邊數較多的底面作為鏡像面鏡射產生另一個罩帳組合而成的立體；而異相雙罩帳則為兩個罩帳之間除了是鏡像之外，還差了一個旋轉角疊合構成。

雙罩帳

以同相（左）/異相（右）雙五角罩帳為例
類別	雙罩帳
對偶多面體	見#對偶多面體一節
性質
面	${\displaystyle {{{6}\,{n}}+{2}}}$
邊	${\displaystyle {{12}\,{n}}}$
頂點	${\displaystyle {{6}\,{n}}}$
歐拉特徵數	F=${\displaystyle {{{6}\,{n}}+{2}}}$, E=${\displaystyle {{12}\,{n}}}$, V=${\displaystyle {{6}\,{n}}}$ （χ=2）
組成與佈局
面的種類	2個n邊形 2n個五邊形 4n個三角形
對稱性
對稱群	同相：Dnh（英語：Dihedral symmetry in three dimensions）, [n,2], (*n22), 4n階 異相：Dnd, [2n,2+], (2*n), 4n階
旋轉對稱群 （英語：Rotation_groups）	Dn, [n,2]+, (n22), 2n階
特性
凸
圖像
見#對偶多面體一節 （對偶多面體）
註：${\displaystyle n}$為底面邊數 。
閱 論 編

雙五角罩帳是唯一一個能夠以所有面皆為正多邊形的形式存在的罩帳。 兩種形式中，一個是詹森多面體，另一個是半正多面體：^[3]

• 同相雙五角罩帳（英語：Pentagonal orthobirotunda），詹森多面體
• 異相雙五角罩帳，半正多面體，又稱為截半二十面體^[4]

例子

雙罩帳有無限多種，最小的雙罩帳是雙三角罩帳。能以所有面皆為正多邊形之形式存在的雙罩帳只有雙五角罩帳^[2]，其他雙罩帳的五邊形面都會有一定程度的形變，即使其所有邊等長，也未必能所有角等角。^[2]

雙罩帳根據兩底面的方向性可以分成「同相」和「異相」兩種情況。其中，「同相」表示頂面和底面相同方向，而「異相」則表示頂面和底面差了一個旋轉角，角度為底面多邊形中心角的一半。

雙罩帳

4	5	6	7	8
同相雙四角罩帳	同相雙五角罩帳（英語：Pentagonal orthobirotunda）	同相雙六角罩帳	同相雙七角罩帳	同相雙八角罩帳
異相雙四角罩帳	異相雙五角罩帳	異相雙六角罩帳	異相雙七角罩帳	異相雙八角罩帳

對偶多面體

雙罩帳對偶

以同相/異相雙六角罩帳的對偶多面體為例
類別	雙罩帳對偶
性質
面	${\displaystyle {{6}\,{n}}}$
邊	${\displaystyle {{12}\,{n}}}$
頂點	${\displaystyle {{{6}\,{n}}+{2}}}$
歐拉特徵數	F=${\displaystyle {{6}\,{n}}}$, E=${\displaystyle {{12}\,{n}}}$, V=${\displaystyle {{{6}\,{n}}+{2}}}$ （χ=2）
組成與佈局
面的種類	同相： 上下極點周圍各n個鳶形或菱形 極點與赤道面之間上下各n個鳶形或菱形 赤道面2n個梯形 異相： 上下極點周圍各n個鳶形或菱形 極點與赤道面之間上下各n個鳶形或菱形 赤道面2n個鳶形或菱形
對稱性
對稱群	同相：Dnh（英語：Dihedral symmetry in three dimensions）, [n,2], (*n22), 4n階 異相：Dnd, [2n,2+], (2*n), 4n階
旋轉對稱群 （英語：Rotation_groups）	Dn, [n,2]+, (n22), 2n階
特性
凸
註：${\displaystyle n}$為底面邊數 。
閱 論 編

雙罩帳可以分成同相雙罩帳和異相雙罩帳，這兩種立體的對偶多面體各不相同。其中，異相雙罩帳的對偶多面體由鳶形或菱形組成，尤其是異相雙五角罩帳的對偶多面體全部皆由菱形構成，是一種卡塔蘭立體——菱形三十面體^[5]。

異相雙罩帳的對偶多面體

4	5	6	7
異相雙四角罩帳 的對偶多面體	異相雙五角罩帳 的對偶多面體 菱形三十面體	異相雙六角罩帳 的對偶多面體	異相雙七角罩帳 的對偶多面體
異相雙四角罩帳	異相雙五角罩帳	異相雙六角罩帳	異相雙七角罩帳

而同相雙罩帳的對偶多面體除了構成異相雙罩帳的鳶形和菱形外，還會在赤道面上有一圈梯形。

同相雙罩帳的對偶多面體

4	5	6	7
同相雙四角罩帳 的對偶多面體	同相雙五角罩帳 的對偶多面體	同相雙六角罩帳 的對偶多面體	同相雙七角罩帳 的對偶多面體
同相雙四角罩帳	同相雙五角罩帳	同相雙六角罩帳	同相雙七角罩帳

相關多面體

雙罩帳柱

雙罩帳柱是指在雙罩帳的兩個罩帳中間加入柱體所形成的立體，與雙罩帳一樣，可分為「同相」及「異相」兩種。僅有同相五角雙罩帳柱（英語：Elongated pentagonal orthobirotunda）和異相五角雙罩帳柱（英語：Elongated pentagonal gyrobirotunda）屬於詹森多面體。^[6][7]

雙罩帳柱

4	5	6	7
同相雙四角罩帳柱	同相五角雙罩帳柱（英語：Elongated pentagonal orthobirotunda）	同相雙六角罩帳柱	同相雙七角罩帳柱
異相雙四角罩帳柱	異相五角雙罩帳柱（英語：Elongated pentagonal gyrobirotunda）	異相雙六角罩帳柱	異相雙七角罩帳柱

雙罩帳反角柱

雙罩帳反角柱又稱為雙罩帳反稜柱是指在雙罩帳的兩個罩帳中間加入反角柱所形成的立體。僅有雙五角罩帳反角柱（英語：Gyroelongated pentagonal birotunda）屬於詹森多面體。^[8]

雙罩帳反角柱

4	5	6	7
雙四角罩帳反角柱	雙五角罩帳反角柱（英語：Gyroelongated pentagonal birotunda）	雙六角罩帳反角柱	雙七角罩帳反角柱

參考文獻

1. Weisstein, Eric W. (編). Birotunda. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
2. Johnson, Norman W.（英語：Norman Johnson (mathematician)）, Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics（英語：Canadian Journal of Mathematics）, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8.
3. Victor A. Zalgaller（英語：Victor Zalgaller）. Convex Polyhedra with Regular Faces. Consultants Bureau. 1969. No ISBN.
4. Icosidodecahedron. polyhedra.tessera.li. [2023-01-17]. （原始內容存檔於2023-01-17）.
5. Icosidodecahedron. polyhedrongarden.com. [2023-01-17]. （原始內容存檔於2023-01-17）.
6. Weisstein, Eric W. (編). Elongated Pentagonal Orthobirotunda. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
7. Weisstein, Eric W. (編). Elongated Pentagonal Gyrobirotunda. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
8. Weisstein, Eric W. (編). Gyroelongated Pentagonal Birotunda. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.