徑向基函數

徑向基函數（英語：Radial basis function，縮寫為RBF）是一個取值僅依賴於到原點距離的實值函數（英語：Real-valued function），即${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )=\phi (\|\mathbf {x} \|)}$。此外，也可以按到某一中心點c的距離來定義， 即${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,\mathbf {c} )=\phi (\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|)}$。任一滿足${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )=\phi (\|\mathbf {x} \|)}$的函數都可稱作徑向函數。其中，範數一般為歐幾里得距離，不過亦可使用其他距離函數。

可以用於許多向函基數的和來逼近某一給定的函數。這一逼近的過程可看作是一個簡單的神經網絡。^[1][2]此外在機器學習中，徑向基函數還被用作支持向量機的核函數。

類型

常見的徑向基函數包括（定義${\displaystyle r=\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\|}$）：

• 高斯函數：

${\displaystyle \phi (r)=e^{-(\varepsilon r)^{2}}}$

• 多二次函數（multiquadric）：

${\displaystyle \phi (r)={\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}}}}$

• 逆二次函數（inverse quadratic）：

${\displaystyle \phi (r)={\frac {1}{1+(\varepsilon r)^{2}}}}$

• 逆多二次函數（inverse multiquadric）：

${\displaystyle \phi (r)={\frac {1}{\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}}}}}$

• 多重調和樣條（polyharmonic spline）：

${\displaystyle \phi (r)=r^{k},\;k=1,3,5,\dots }$

${\displaystyle \phi (r)=r^{k}\ln(r),\;k=2,4,6,\dots }$

• 薄板樣條（thin plate spline，為多重調和樣條的特例）：

${\displaystyle \phi (r)=r^{2}\ln(r)}$

參見

• 徑向基函數網絡
• 徑向基函數核
• Kansa方法

參考文獻

1. Radial Basis Function networks 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2014-04-23.
2. Broomhead, David H.; Lowe, David. Multivariable Functional Interpolation and Adaptive Networks (PDF). Complex Systems. 1988, 2: 321–355. （原始內容 (PDF)存檔於2014-07-14）.