單位換算

單位換算是指同一個量在不同計量單位之間的轉換。它通常會用換算系數實現。

概述

換算過程取決於場合和預期目的。它們可以由規定、合同或其他標準控制。在工程學，其他需要考慮的因素包括：

量度結果的精準度和精密度以及測量不確定度。
最初量度結果的信賴區間和公差範圍。
量度結果的有效數字數目。
量度結果的用途，包括公差。
單位的歷史定義，以及用於舊時量度的衍生單位，如呎和美國測量呎。

一些從單位系統之間的換算需要準確，不能增加或減少最初量度結果的精密度。這有時稱為「軟換算」。它不涉及改變所量度物品的物理構造。

相反，「硬換算」或「自適應換算」不需要準確。它將量度單位轉為較為好用的數字和單位系統。它有時涉及物品稍微不同的構造或尺寸替換。^{[需要解釋]}它通常可以使用標稱值。

系數抵消

系數抵消是利用代數換算單位的方法。^[1]^[2]^[3]

系數抵消是將以分數表達的換算系數擺放在一起，讓任何同時出現在分子和分母中的因次單位都可以被抵消，直到只剩下所需的因次單位。例如，10哩每小時可以用以下換算系數轉換為米每秒:

${\frac {\mathrm {10~{\cancel {mi}}} }{\mathrm {1~{\cancel {h}}} }}\times {\frac {\mathrm {1609.344~m} }{\mathrm {1~{\cancel {mi}}} }}\times {\frac {\mathrm {1~{\cancel {h}}} }{\mathrm {3600~s} }}=\mathrm {4.4704~{\frac {m}{s}}} .$

每個換算系數的選擇準則是一個原有單位和一個所需單位（或者某個中間單位）之間的關係。例如，因為「哩」是原有分數和 $\mathrm {1~mi} =\mathrm {1609.344~m}$ 中的分子，「哩」需要是換算系數中的分母。將方程式的兩方除以1哩，得 ${\frac {\mathrm {1~mi} }{\mathrm {1~mi} }}={\frac {\mathrm {1609.344~m} }{\mathrm {1~mi} }}$ ，簡化後變成沒有因次的 $1={\frac {\mathrm {1609.344~m} }{\mathrm {1~mi} }}$ 。由於乘法單位元素的性質，將任何數量乘以1，都不會改變該數量。^[4]原有分數乘以該換算系數以及秒每小時的系數後，「哩」和「小時」會抵消，所以10哩每小時等於4.4704米每秒。

再例如，工業熔爐的煙道氣中氮氧化物（NO_x）的濃度可以用以下資料轉為質素流量，以NO_x克每小時（g/h）表示：

NO_x濃度: = 百萬分比10的體積 = 10 ppmv = 10體積單位/10⁶體積單位
NO_x摩爾質素: = 46 kg/kmol = 46 g/mol
煙道氣的流量: = 20立方米每分鐘 = 20 m³/min; 煙道氣在0 °C的溫度和101.325 kPa的絕對壓強下離開熔爐。; 氣體在0 °C和101.325 kPa下的摩爾體積是22.414 m³/摩爾 (單位)。

{\frac {1000\ {\ce {g\ NO}}_{x}}{1{\cancel {{\ce {kg\ NO}}_{x}}}}}\times {\frac {46\ {\cancel {{\ce {kg\ NO}}_{x}}}}{1\ {\cancel {{\ce {kmol\ NO}}_{x}}}}}\times {\frac {1\ {\cancel {{\ce {kmol\ NO}}_{x}}}}{22.414\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {NO}}_{x}}}}}\times {\frac {10\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {NO}}_{x}}}}{10^{6}\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {gas}}}}}}\times {\frac {20\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {gas}}}}}{1\ {\cancel {\ce {minute}}}}}\times {\frac {60\ {\cancel {\ce {minute}}}}{1\ {\ce {hour}}}}=24.63\ {\frac {{\ce {g\ NO}}_{x}}{\ce {hour}}}

在以上算式中抵消所有同時出現於分子和分母的因次單位後，10 ppm_v的NO_x濃度等於24.63 克每小時的流量。

覆核涉及因次的方程式

系數抵消也可以用於任何數學方程式，檢查左方的因次單位是否與右方的一樣。兩方有相同的單位，不代表方程式完全正確，但兩方有不同的單位（以基本單位表示），則表示方程式有錯誤。

例如，考慮理想氣體狀態方程式，PV = nRT，其中：

壓強（P）以帕斯卡（Pa）表示
體積（V）以立方米（m³）表示
物質的量（n）以摩爾（mol）表示
氣體常數（R）是8.3145 Pa⋅m³/(mol⋅K)
溫度T以開爾文（K）表示

$\mathrm {Pa{\cdot }m^{3}} ={\frac {\cancel {\mathrm {mol} }}{1}}\times {\frac {\mathrm {Pa{\cdot }m^{3}} }{{\cancel {\mathrm {mol} }}\ {\cancel {\mathrm {K} }}}}\times {\frac {\cancel {\mathrm {K} }}{1}}$

如上所示，在右方同時出現於分子和分母的因次單位被抵消時，方程式的兩方都有相同的單位。因次分析可用來建立方程式，聯絡本沒有關係的物理化學性質。方程式可以展示物質此前未知或被忽視的性質，而它們以剩下因次的形式出現。需要注意的是，這些「數學技巧」既有前例，也在科學界有一定的重要性。物理學基本常數普朗克常數得到「發現」時，它只是基於瑞立-金斯定律建立的抽象數學概念，以防止紫外災變。它開始在量子物理扮演關鍵角色時，可以是在得到因次分析處理的同時或之後，但不能是之前。

限制

系數抵消只能轉換線性關係的單位量，而大多數單位都符合這個關係。例如，系數抵消不適用於攝氏度和開爾文（或華氏度）之間的換算。攝氏度和開爾文間有恆定的差，而不是恆定的比；攝氏度和華氏度間既沒有恆定的差，也沒有恆定的比。然而，它們之間有仿射轉換（ $x\mapsto ax+b$ ，而不是線性轉換的 $x\mapsto ax$ ）。

例如，水的冰點是0 °C和32 °F，而5 °C的變化相當於9 °F的變化，因此，要將華氏度轉為攝氏度，則需要減去32 °F（參考點的差），除以9 °F，乘以5 °C（單位的比），最後加0 °C（參考點的差）。反轉這個過程，則是相當於將攝氏度轉換到華氏度。即使這個過程以100 °C和212 °F開始，也不會影響最後的公式。

因此，以下公式可以將華氏度的某個溫度值（T[F]）轉換至攝氏度的溫度值（T[C]）：

T[C] = (T[F] − 32) × 5/9.

以下公式可以將攝氏度（T[C]）轉換至華氏度（T[F]）：

T[F] = (T[C] × 9/5) + 32.

涉及非SI單位的計算

如果公式使用非SI單位，則可以先求出初步系數，再將數值代入給定/已知的數量，最後完成計算。

例如，在玻色–愛因斯坦凝聚體的研究中，^[5]原子質素（ $m$ ）通常以道爾頓——而不是公斤——表示；化學位能（ $μ$ ）往往以波茲曼常數乘以納開爾文表示。

凝聚體的治癒長度（英語：Gross–Pitaevskii equation#Healing length）由以下公式表示： $\xi ={\frac {\hbar }{\sqrt {2m\mu }}}\,.$

假設有一個化學位能為（波茲曼常數乘以）128 nK的²³Na凝聚體，其治癒長度（微米）可以在兩步內求出：

計算初步系數

假設 $m=1\,{\text{Da}},\mu =k_{\text{B}}\cdot 1\,{\text{nK}}\,$ ，則 $\xi ={\frac {\hbar }{\sqrt {2m\mu }}}=15.574\,\mathrm {\mu m} \,,$ 是計算需要的初步系數。

計算數字

利用 $\xi \propto {\frac {1}{\sqrt {m\mu }}}$ 。已知 $m=23\,{\text{Da}},\mu =128\,k_{\text{B}}\cdot {\text{nK}}$ ， $\xi ={\frac {15.574}{\sqrt {23\cdot 128}}}\,{\text{μm}}=0.287\,{\text{μm}}$ 。

在編程或製造工作表中，輸入數量有幾種數值，這個方法也特別有用。例如，利用上面計算的初步系數，化學位能為20.3 nK的¹⁷⁴Yb的治癒長度是 $\xi ={\frac {15.574}{\sqrt {174\cdot 20.3}}}\,{\text{μm}}=0.262\,{\text{μm}}$ 。