有效數字

有效數字（significant figures，significant digits，簡寫 sig figs），其代表一個數是由若干位數字組成，其中影響其測量精度的數字被稱作有效數字，也稱有效數位^[1]。

辨別有效數字

簡單的規則如下：

• 所有非零數字都是有效的；
• 非零數字間的零都是有效的；
• 前綴零始終無效；
• 對於需要小數點的數，後綴零（最後一個非零數字後的零）是有效的；
• 對於不需要小數點的數，後綴零可能有效也可能無效。需要根據額外的符號或者誤差訊息決定。

所有非零數字都有效。例如 91 有兩位有效數字（9 和 1），而 123.45 有五位有效數字（1、2、3、4、5）。

兩個非零數字之間的零都有效。例如 101.1203 有七位有效數字（1、0、1、1、2、0、3）。

開頭的零始終無效。例如 0.00052 只有兩位有效數字（5 和 2）。

包含小數點的數中，結尾的零是有效的。例如 12.2300 有六位有效數字（1、2、2、3、0、0），而 0.000122300 也只有六位有效數字（1 前面的 0 都無效），120.00 則有五位。這一規則是因為小數里結尾的零可以明確精度。例如在精確到小數點後四位（0.0001）進行度量時，如果僅給出 12.23 的結果，可能會被誤解為測量時只精確到小數點後兩位，而給出 12.2300 的結果，則可以明確有小數點後四位的精度（例子中的結果有六位有效數字）。

針對不包含小數點的數，結尾的零是否是有效數字可以有不同的理解。例如僅給出 1300，我們無法得知它是精確到了最小單位（只是恰巧是 100 的倍數），還是在百位或者十位做了捨入。有很多做法可以消除歧義：

• 在最後一個有效數字上劃線。被標記的數字之後，所有結尾的零都不是有效數字。例如 ${\displaystyle 13{\overline {0}}0}$ 表示有三位有效數字，精確到十位；
• 類似的也有加下劃線的做法，比如 ${\displaystyle 2{\underline {0}}00}$ 表示有兩位有效數字，精確到百位；
• 如果在數字後面加上小數點，可以表示精確到個位。例如 100. 就有三位有效數字；
• 數字與計量單位結合時，可以通過選擇不同的前綴避免歧義。例如表示質量時，1300克的精度是有歧義的，而換成1.3千克則無歧義，有兩位有效數字。

不過很多時候人們並不使用這些消歧義的做法，後綴的零是否屬於有效數字只能從上下文分辨。需要時也可以直接標明有效數字位數，比如可以寫「20000（兩位有效數字）」。

科學記數法

大多數情況下，使用科學記數法的數也可以使用上述規則判別有效數字。不過正規化形式的科學記數法沒有前綴和後綴的零，所有數字都是有效的。比如 0.00012（兩位有效數字）會被記作 ${\displaystyle 1.2\times 10^{-4}}$，0.00122300（六位有效數字）會被記作 ${\displaystyle 1.22300\times 10^{-3}}$。後綴零都是有效的，沒有歧義。例如 1300 在有四位有效數字時，會被記作 ${\displaystyle 1.300\times 10^{3}}$，而如果只有兩位有效數字，則會被記作 ${\displaystyle 1.3\times 10^{3}}$。

因此，科學記數法中，尾數也被稱作有效數。

修約與位數

有效數字的概念通常和修約一起使用。按照有效數字的位數修約比按照數字本身的位數修約通用，因為對於不同尺度的數字可以有相同的處理。例如，城市的人口數可以是精確到千位的 52000，而國家的人口數則會是精確到百萬的 52000000。前者可以有幾百的誤差，後者則可以有幾十萬的誤差，而它們都只有兩位有效數字（5 和 2）。也就是說，即便兩者在數量級上相差巨大，但兩者誤差的有效性相同（誤差與數據本身的比）。

可以用「保留 n 位有效數字」來描述按照有效數字的修約，做法如下： ^[2][3]

• 首先找出從第一個非零數字開始的 n 個連續的數字，認為只有這些數字才是有效數字。
• 如果最後一個有效數字後面緊跟的數字大於 5，或者緊跟着 5 但後面還有其它非零數字，那麼將最後一個有效數字加 1。例如 1.2459 保留三位有效數字後為 1.25。
• 如果最後一個有效數字後面緊跟着數字 5，而且後面沒有其它數字或者都是 0，修約時需要採用某種特定的規則。例如 1.25 保留兩位有效數字：
  • 中值取高斯再加一（即「四捨五入」）後結果是 1.3。如果沒有特別說明，很多時候都使用這種方法。
  • 中值取最靠近的偶數（即「四捨六入五成雙」）後的結果是 1.2。
• 將小數點前的所有非有效數字替換為 0。
• 將小數點後的所有非有效數字刪除（不能替換為 0）。

運算

• 加法運算，當對測量值進行加減運算時，應先完成計算，然後對答案四捨五入，看精確到小數點後的位數（以位數少的為準）；

• 減法運算，則為先調整各數的有效位數使與減數中有效位數最小者相同，再進行減法運算。

例：3.86 m + 2.4 m = 6.3 m

• 乘除運算，應先對測量值進行計算後，把答案四捨五入到和測量值的最小精度值相同的有效數字位數；^[4]

例：409.2 km / 11.4 L = 35.9 km/L

• 取對數（不管是常用對數還是自然對數，即不管對數的底數為何），按照有效數字的個數來確定小數點後的位數（位數等於個數）；

• 取指數，按照小數點後的位數來確定有效數字的個數（個數等於位數）；

• 科學常數和整數可以取任意位有效數字。

近似值

令${\displaystyle x}$是某個數量的真值，${\displaystyle {\tilde {x}}}$是${\displaystyle x}$的近似值；${\displaystyle x}$與${\displaystyle {\tilde {x}}}$都用十進制表示。有效數字就是指${\displaystyle x}$與${\displaystyle {\tilde {x}}}$的多少位數字是一致的。確切地說，${\displaystyle {\tilde {x}}}$有${\displaystyle x}$的m位有效數字，則從${\displaystyle x}$的左端非零數字所在位起，絕對誤差|${\displaystyle {\tilde {x}}-x}$|的前m個十進制數位為0，隨後一位數字取值從0到5. 例如：

• 5.1對真值5具有1位有效數字：|5.1-5|=0.1
• 0.51對真值0.5具有1位，而不是2位有效數字：|0.51-0.5|=0.01
• 4.995對真值5具有3位有效數字:|4.995-5|=0.005
• 4.994對真值5具有2位有效數字:|4.994-5|=0.006
• 1.4對真值2具有0位有效數字：|1.4-2|=0.6

如果${\displaystyle x}$用科學記數法表示為 ${\displaystyle x=\Box .\Box \Box \ldots \Box \times 10^{n}}$， 則${\displaystyle {\tilde {x}}}$有${\displaystyle x}$的m位有效數字，如果${\displaystyle |x-{\tilde {x}}|\leq 5\times 10^{n-m}}$。 ${\displaystyle {\tilde {x}}}$有${\displaystyle x}$的m位有效數字，則二者相對誤差不超過${\displaystyle 5\times 10^{-m}}$。

參考文獻

1. significant figure - 有效數字. 國家教育研究院雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網. [2018-06-27]. （原始內容存檔於2021-03-04）.
2. Engelbrecht, Nancy; et al. Rounding Decimal Numbers to a Designated Precision (PDF). Washington, D.C.: U.S. Department of Education. 1990. 引文格式1維護：顯式使用等標籤 (link)
3. Numerical Mathematics and Computing, by Cheney and Kincaid （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.
4. Paul W. Zitzewitz,etc.(2005),"PHYSICS principles and Problems",McGraw-Hill Education Glencoe.

外部連結

• Significant Figures Calculator （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） （英文）
• 有效數字的概念介紹 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 有效數字