偏導數

「偏微分」重新導向至此。關於含有未知函數及其偏導數的方程，請見「偏微分方程」。

在數學中，偏導數（英語：partial derivative）的定義是：一個多變量的函數（或稱多元函數），對其中一個變量（導數）微分，而保持其他變量恆定^{[註 1]}。

偏導數的作用與價值在向量分析和微分幾何以及機器學習領域中受到廣泛認可。

函數${\displaystyle f}$關於變量${\displaystyle x}$的偏導數寫為${\displaystyle f_{x}^{\prime }}$或${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$。偏導數符號${\displaystyle \partial }$是全導數符號${\displaystyle d}$的變體，由阿德里安-馬里·勒壤得引入，並在雅可比的重新引入後得到普遍接受。

簡介

f = x² + xy + y²的圖像。我們希望求出函數在點(1, 1)的對x的偏導數；對應的切線與xOz平面平行。

這是上圖中y = 1時的圖像片段。

假設ƒ是一個多元函數。例如：

${\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}$

因為曲面上的每一點都有無窮多條切線，描述這種函數的導數相當困難。偏導數就是選擇其中一條切線，並求出它的斜率。通常，最感興趣的是垂直於y軸（平行於xOz平面）的切線，以及垂直於x軸（平行於yOz平面）的切線。

一種求出這些切線的好辦法是把其他變量視為常數。例如，欲求出以上的函數在點(1, 1)的與xOz平面平行的切線。右圖中顯示了函數的圖像以及這個平面。左圖中顯示了函數在平面y = 1上是什麼樣的。我們把變量y視為常數，通過對方程求導，我們可以發現f在點(x, y)的導數，記為：

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+y}$

於是在點(1, 1)的xOz平面平行的切線的斜率是3。

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=3}$

在點(1, 1)，或稱「f在(1, 1)的關於x的偏導數是3」。

定義

函數f可以解釋為y為自變量而x為常數的函數：

${\displaystyle f(x,y)=f_{x}(y)=\,\!x^{2}+xy+y^{2}}$。

也就是說，每一個x的值定義了一個函數，記為f_x，它是一個一元函數。也就是說：

${\displaystyle f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}}$。

一旦選擇了一個x的值，例如a，那麼f(a,y)便定義了一個函數f_a，把y映射到a² + ay + y²：

${\displaystyle f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}}$。

在這個表達式中，a是常數，而不是變量，因此f_a是只有一個變量的函數，這個變量是y。這樣，便可以使用一元函數的導數的定義：

${\displaystyle f_{a}'(y)=a+2y}$

以上的步驟適用於任何a的選擇。把這些導數合併起來，便得到了一個函數，它描述了f在y方向上的變化：

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y}$

這就是f關於y的偏導數，在這裏，∂是一個彎曲的d，稱為偏導數符號。為了把它與字母d區分，∂有時讀作「der」、「del」、「dah」或「偏」，而不是「dee」。

一般地，函數f(x₁,...,x_n)在點(a₁,...,a_n)關於x_i的偏導數定義為：

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{n})}{h}}}$

在以上的差商中，除了x_i以外的所有變量都是固定的。這個固定值的選擇決定了一個一元函數${\displaystyle f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n})}$，根據定義，

${\displaystyle {\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})}$

這個表達式說明了偏導數的計算可以化為一元導數的計算。

多變量函數的一個重要的例子，是歐幾里德空間Rⁿ（例如R²或R³）上的純量值函數f(x₁,...x_n)。在這種情況下，f關於每一個變量x_j具有偏導數∂f/∂x_j。在點a，這些偏導數定義了一個向量：

${\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right)}$

這個向量稱為f在點a的梯度。如果f在定義域中的每一個點都是可微的，那麼梯度便是一個向量值函數∇f，它把點a映射到向量∇f(a)。這樣，梯度便決定了一個向量場。

一個常見的符號濫用是在歐幾里得空間R³中用單位向量 ${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ,\mathbf {\hat {j}} ,\mathbf {\hat {k}} }$來定義Nabla算子 (∇) 如下:

${\displaystyle \nabla ={\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {i}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial y}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {j}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial z}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {k}} }$

或者，更一般地，對於n維歐幾里得空間Rⁿ 的坐標(x₁, x₂, x₃,...,x_n)和單位向量(${\displaystyle \mathbf {{\hat {e}}_{1}} ,\mathbf {{\hat {e}}_{2}} ,\mathbf {{\hat {e}}_{3}} ,\dots ,\mathbf {{\hat {e}}_{n}} }$):

${\displaystyle \nabla =\sum _{j=1}^{n}{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{j}} ={\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{1}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{2}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{3}} +\dots +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{n}} }$

例子

圓錐的體積與它的高度和半徑有關

考慮一個圓錐的體積V；它與高度h和半徑r有以下的關係：

${\displaystyle V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}}$。

V關於r的偏導數為：

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}}}$，它描述了高度固定而半徑變化時，圓錐的體積的變化率。

V關於h的偏導數為：

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}}}$，它描述了半徑固定而高度變化時，圓錐的體積的變化率。

現在考慮V關於r和h的全導數。它們分別是：

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {\partial h}{\partial r}}}$

以及

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} h}}=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial h}}}$

現在假設，由於某些原因，高度和半徑的比k需要是固定的：

${\displaystyle k={\frac {h}{r}}={\frac {\partial h}{\partial r}}}$

這便給出了關於r的全導數：

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}={\frac {2\pi rh}{3}}+k{\frac {\pi r^{2}}{3}}}$

可以化簡為：

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}=k\pi r^{2}}$

類似地，關於h的全導數是：

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} h}}=\pi r^{2}}$

含有未知函數的偏導數的方程，稱為偏導數方程，它在物理學、工程學，以及其它應用科學中經常會見到。

與關於r和h二者相關的全導數是由雅可比矩陣給出的，它的形式為梯度向量${\displaystyle \nabla V=({\frac {\partial V}{\partial r}},{\frac {\partial V}{\partial h}})=({\frac {2}{3}}\pi rh,{\frac {1}{3}}\pi r^{2})}$。

記法

在以下的例子中，設f為x、y和z的函數。

f的一階偏導數為：

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f}$

二階偏導數為：

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f}$

二階混合偏導數為：

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=f_{xy}=\partial _{yx}f}$

高階偏導數為：

${\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\,\partial y^{j}\,\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}}$

當處理多變量函數時，有些變量可能互相有關，這樣就需要明確指定哪些變量是固定的。在諸如統計力學的領域中，f關於x的偏導數，把y和z視為常數，通常記為：

${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}}$

正式定義和性質

像導數一樣，偏導數也是定義為一個極限。設U為Rⁿ的一個開子集，f : U → R是一個函數。我們定義f在點a = (a₁, ..., a_n) ∈ U關於第i個變量x_i的偏導數為：

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a_{1},\dots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\dots ,a_{n})-f(a_{1},\dots ,a_{n}) \over h}}$

即使在某個給定的點a，所有的偏導數∂f/∂x_i(a)都存在，函數仍然不一定在該點連續。然而，如果所有的偏導數在a的一個鄰域內存在並連續，那麼f在該鄰域內完全可微分，且全導數是連續的。在這種情況下，我們稱f是一個C¹函數。

偏導數${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$可以視為定義在U內的另外一個函數，並可以再次求偏導數。如果所有的混合二階偏導數在某個點（或集合）連續，我們便稱f為在該點（或集合）的一個C²函數；在這種情況下，根據克萊羅定理，偏導數可以互相交換：

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}}$。

參考文獻

• George B. Thomas & Ross L. Finney. Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1994: 833–840. ISBN 0-201-52929-7.

註釋

1. 相對於全導數，在其中所有變量都允許變化

參見

• 達朗貝爾算子
• 複合函數求導法則
• 旋度
• 方向導數
• 散度
• 外導數
• 梯度
• 雅可比矩陣
• 拉普拉斯算子
• 二階導數的對稱性
• 三乘積法則，又稱為循環連鎖律。