CORDIC

CORDIC（英語：Coordinate rotation digital computer），也稱為Volder演算法（英語：Volder's algorithm），是一個可以計算三角函數，簡單且有效率的演算法，可以在任意進制下運算，一般會每次計算一位數字。因此CORDIC屬於逐位計算（Digit-by-digit）方法中的一個例子。

CORDIC演算法還有其他的名稱，像是圓形CORDIC (Jack E. Volder)^[1][2]、線性CORDIC、雙曲線CORDIC(John Stephen Walther)^[3][4]、及泛用雙曲線CORDIC（GH CORDIC, Yuanyong Luo et al.）^[5][6]。用類似的方式也可以計算雙曲函數、平方根、乘法、除法、指數及對數等。

CORDIC和一些名為「偽乘法」（pseudo-multiplication）、「偽除法」（pseudo-division）及factor combining的方法，常用在沒有乘法器的應用（像是簡單的微控制器以及FPGA），其中會用到的運算是加法、減法、位元移位及查找表。這些算法可歸類在「移位和相加」（shift-and-add）演算法中。在計算機科學中，若CPU沒有硬件的乘法器，常會用CORDIC來實現浮點數運算。

歷史

英國數學家亨利·布里格斯（英語：Henry Briggs (mathematician)）早在1624年時就已發現此算法^[7][8]，後來Robert Flower也在1771年時發現^[9]，不過後來是因為低複雜度的有限狀態CPU，才針對CORDIC作較進一步的最佳化。

CORDIC是在1956年問世^[10][11]，是由康維爾空氣電子部門的Jack E. Volder（英語：Jack E. Volder）發現，一開始是因為要取代B-58轟炸機（英語：B-58 Hustler）導航電腦上面的類比式解角器（resolver），更換成更準確而實時的數位方案^[11]。因此，有時也會將CORDIC稱為數位解角器（digital resolver）^[12][13]。

Volder的研究，是因為1946年版CRC化學和物理手冊中的公式而得到靈感^[11]：

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}R\sin(\theta \pm \varphi )&=R\sin(\theta )\pm 2^{-n}R\cos(\theta ),\\K_{n}R\cos(\theta \pm \varphi )&=R\cos(\theta )\mp 2^{-n}R\sin(\theta ),\\\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle \varphi }$是使${\displaystyle \tan(\varphi )=2^{-n}}$成立的值，且${\displaystyle K_{n}:={\sqrt {1+2^{-2n}}}}$。

他的研究最後產生了一個內部的技術報告，提到用CORDIC演算法來求解正弦及餘弦函數，以及一個實現此功能的原型電腦^[10][11]。報告中也提到用修改版的CORDIC演算法計算雙曲函數、座標旋轉、對數及指數的可能性^[10][11]。用CORDIC來進行乘法和除法運算的想法也是在此時形成^[11]。依照CORDIC演算法的原則，Volder的同事Dan H. Daggett發展了在二進位以及二進碼十進數（BCD）之間轉換的演算法^[11][14]。

應用

CORDIC用簡單的移位和相加運算來處理像是三角函數、雙曲函數、對數函數、實數及複數乘法、除法、方根計算、線性系統求解、特徵值估測、奇異值分解、QR分解等。因此，CORDIC可以用在許多的應用中，像是信號處理、影像處理、通訊系統、機械人學及三維計算機圖形等^[15][16]。

硬件

若沒有硬件乘法器的話，CORDIC一般會比其他算法要快很多，若是用FPGA或ASIC的話，使用的邏輯閘也會少很多。

CORDIC是FPGA開發應用程式（像是Xilinx的Vivado）中的標準半導體IP核，而不是使用特殊函數的冪級數實現，其原因是CORDIC IP的通用性，CORDIC可以計算許多不同的函數，而為特定函數開發的乘法器只能計算特定的函數。

另一方面，若有硬件乘法器（例如DSP），查表法及冪級數會比CORDIC快很多。近年來，CORDIC演算法常用在生醫應用中，尤其是用FPGA實現的應用^{[來源請求]}。

使用泰勒級數的問題是此方法可以產生小的絕對誤差，但其中沒有良態的相對誤差^[17]。其他多項式近似法，例如Minimax近似演算法（英語：Minimax approximation algorithm），可以同時控制這二種的誤差。

軟件

在CPU只有整數運算的古老系統中，會將CORDIC放在其IEEE 754函式庫的一部份。現代的通用CPU已有浮點運算暫存器，也有加法、減法、乘法、除法、三角函數、平方根、一般對數、自然對數等，幾乎沒有用到CORDIC的場合。只有一些有特殊安全性或是時間要求的應用程式才會用到CORDIC。

運作模式

旋轉模式

CORDIC可以用來計算許多不同的函數。以下說明如何在旋轉模式（rotation mode）下的CORDIC計算角度的正弦函數和餘弦函數，假設角度以弧度的定點格式表示。要找到一個角度${\displaystyle \beta }$的正弦函數和餘弦函數，可以在單位圓上找到對應角度的y座標和座標。利用CORDIC，會從以下的向量${\displaystyle v_{0}}$開始：

${\displaystyle v_{0}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}.}$

CORDIC演算法的圖解

在第一次的迭代時，向量逆時針轉45°，得到向量${\displaystyle v_{1}}$。接着繼續的迭代，每一次的角度漸漸變小，旋轉方向可能順時針，也可能逆時針，直到得到想要的角度為止。每一次的角度為${\displaystyle \gamma _{i}=\arctan {(2^{-i})}}$，其中${\displaystyle i=0,1,2,\dots }$。

若以更正式的方式表示，每一次的迭代就是一次旋轉，也就是將向量${\displaystyle v_{i}}$乘以旋轉矩陣${\displaystyle R_{i}}$：

${\displaystyle v_{i+1}=R_{i}v_{i}.}$

旋轉矩陣為

${\displaystyle R_{i}={\begin{bmatrix}\cos(\gamma _{i})&-\sin(\gamma _{i})\\\sin(\gamma _{i})&\cos(\gamma _{i})\end{bmatrix}}.}$

利用以下兩個三角恆等式：

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\gamma _{i})&={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\gamma _{i})}}},\\\sin(\gamma _{i})&={\frac {\tan(\gamma _{i})}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\gamma _{i})}}},\end{aligned}}}$

旋轉矩陣變成

${\displaystyle R_{i}={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\gamma _{i})}}}{\begin{bmatrix}1&-\tan(\gamma _{i})\\\tan(\gamma _{i})&1\end{bmatrix}}.}$

旋轉向量${\displaystyle v_{i+1}=R_{i}v_{i}}$就會變成下式

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\gamma _{i})}}}{\begin{bmatrix}1&-\tan(\gamma _{i})\\\tan(\gamma _{i})&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{bmatrix}},}$

其中${\displaystyle x_{i}}$和${\displaystyle y_{i}}$是${\displaystyle v_{i}}$的分量，若將角度${\displaystyle \gamma _{i}}$限制在使${\displaystyle \tan(\gamma _{i})=\pm 2^{-i}}$的值，和tangent的乘法就以變成乘（或除）2的冪次，在數位電腦硬件中可以快速的用位元右移或左移來計算。因此上法會變成

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{bmatrix}}=K_{i}{\begin{bmatrix}1&-\sigma _{i}2^{-i}\\\sigma _{i}2^{-i}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{bmatrix}},}$

其中

${\displaystyle K_{i}={\frac {1}{\sqrt {1+2^{-2i}}}},}$

且${\displaystyle \sigma _{i}}$是用來判斷旋轉方向的。若角度${\displaystyle \gamma _{i}}$為正，則${\displaystyle \sigma _{i}}$為+1，否則則為−1。

所有的${\displaystyle K_{i}}$因子可以在迭代過程中忽略，最後再一次乘以${\displaystyle K(n)}$因子即可：

${\displaystyle K(n)=\prod _{i=0}^{n-1}K_{i}=\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{\sqrt {1+2^{-2i}}}},}$

此數可以事先計算好存在表格中，若迭代次數是固定的，只需計算一個常數且儲存即可，甚至此修正也可以事先進行，將常數先乘以${\displaystyle v_{0}}$，可以節省一次乘法。另外，可以注意到^[18]

${\displaystyle K=\lim _{n\to \infty }K(n)\approx 0.6072529350088812561694}$

因此可以簡化演算法的複雜度。有些應用會避免修正${\displaystyle K}$，因此此演算法本身會帶一個增益${\displaystyle A}$^[19]：

${\displaystyle A={\frac {1}{K}}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=0}^{n-1}{\sqrt {1+2^{-2i}}}\approx 1.64676025812107.}$

在夠多次的迭代後，向量的角度會接近想要的角度${\displaystyle \beta }$。以一般的應用來說，40次的迭代（n = 40）已可以有小數10位的精度。

唯一未解決的問題是判斷每一次迭代要順時針旋轉或逆時針旋轉（選擇${\displaystyle \sigma }$的值）。這可以記錄每一次旋轉的角度，從還需要旋轉的角度中減去此一角度，會得到下一個還需要旋轉的角度${\displaystyle \beta }$。若${\displaystyle \beta _{n+1}}$為正，需要順時針旋轉，否則，就需要順時針旋轉：

${\displaystyle \beta _{0}=\beta }$

${\displaystyle \beta _{i+1}=\beta _{i}-\sigma _{i}\gamma _{i},\quad \gamma _{i}=\arctan(2^{-i}).}$

${\displaystyle \gamma _{n}}$的值需要事先計算且記錄下來。不過若是小角度，根據小角度近似，在定點數下可得${\displaystyle \arctan(\gamma _{n})=\gamma _{n}}$，因此可以節省儲存用的空間。

如以上所述，角度${\displaystyle \beta }$的正弦函數為其y坐標，餘弦函數為其x坐標。

向量模式

上述旋轉模式的演算法，是旋轉原來位在x軸上的單位向量。但此演算法可以用來旋轉角度在−${\displaystyle \pi /2}$及${\displaystyle \pi /2}$之間的任意向量，旋轉的方向則依${\displaystyle \beta _{i}}$的正負號決定。

向量模式下的演算法和旋轉模式略有不同。其啟始向量的x坐標要為正值，y坐標則為任意值。持續轉動的目的是將向量旋轉到x軸（因此y座標為0）。每一步裏的旋轉方向會由y的值決定。${\displaystyle \beta _{i}}$的最終值包括了總旋轉角度。x的最終值是原向量的大小，再乘以K。因此，可以看出向量模式可以進行直角坐標到極坐標的轉換。

實現

Java的Math類別中有scalb(double x,int scale)方法可以實現二進位的移位^[20]，C語言有ldexp函數^[21]，x86處理器有fscale浮點運算^[22]。

軟件範例（Python）

from math import atan2, sqrt, sin, cos, radians

ITERS = 16
theta_table = [atan2(1, 2**i) for i in range(ITERS)]

def compute_K(n):
    """
    Compute K(n) for n = ITERS. This could also be
    stored as an explicit constant if ITERS above is fixed.
    """
    k = 1.0
    for i in range(n):
        k *= 1 / sqrt(1 + 2 ** (-2 * i))
    return k

def CORDIC(alpha, n):
    K_n = compute_K(n)
    theta = 0.0
    x = 1.0
    y = 0.0
    P2i = 1  # This will be 2**(-i) in the loop below
    for arc_tangent in theta_table:
        sigma = +1 if theta < alpha else -1
        theta += sigma * arc_tangent
        x, y = x - sigma * y * P2i, sigma * P2i * x + y
        P2i /= 2
    return x * K_n, y * K_n

if __name__ == "__main__":
    # Print a table of computed sines and cosines, from -90° to +90°, in steps of 15°,
    # comparing against the available math routines.
    print("  x       sin(x)     diff. sine     cos(x)    diff. cosine ")
    for x in range(-90, 91, 15):
        cos_x, sin_x = CORDIC(radians(x), ITERS)
        print(
            f"{x:+05.1f}°  {sin_x:+.8f} ({sin_x-sin(radians(x)):+.8f}) {cos_x:+.8f} ({cos_x-cos(radians(x)):+.8f})"
        )

輸出

$ python cordic.py
  x       sin(x)     diff. sine     cos(x)    diff. cosine
-90.0°  -1.00000000 (+0.00000000) -0.00001759 (-0.00001759)
-75.0°  -0.96592181 (+0.00000402) +0.25883404 (+0.00001499)
-60.0°  -0.86601812 (+0.00000729) +0.50001262 (+0.00001262)
-45.0°  -0.70711776 (-0.00001098) +0.70709580 (-0.00001098)
-30.0°  -0.50001262 (-0.00001262) +0.86601812 (-0.00000729)
-15.0°  -0.25883404 (-0.00001499) +0.96592181 (-0.00000402)
+00.0°  +0.00001759 (+0.00001759) +1.00000000 (-0.00000000)
+15.0°  +0.25883404 (+0.00001499) +0.96592181 (-0.00000402)
+30.0°  +0.50001262 (+0.00001262) +0.86601812 (-0.00000729)
+45.0°  +0.70709580 (-0.00001098) +0.70711776 (+0.00001098)
+60.0°  +0.86601812 (-0.00000729) +0.50001262 (+0.00001262)
+75.0°  +0.96592181 (-0.00000402) +0.25883404 (+0.00001499)
+90.0°  +1.00000000 (-0.00000000) -0.00001759 (-0.00001759)

硬件範例

實現CORDIC需要的邏輯閘大約和乘法器相當，兩者都是用位元移位和加法所組合的。要選擇乘法器或是CORDIC會隨應用而定。若複數以其實部和虛部表示（直角座標），複數乘法會需要進行四次的乘法。但若複數以極座標表示，只要一個CORDIC即可處理，這更適合用在其乘積的量值不重要的應用（例如將向量和單位圓上的向量相乘的情形）。在數位下轉換器（英語：digital down converter）之類的通訊相關電路中，常會用到CORDIC。

雙重迭代CORDIC

在Vladimir Baykov的二篇文獻中^[23][24]，曾經提到用「雙重迭代」（double iterations）來實現反正弦函數、反餘弦函數、自然對數、指數函數以及雙曲函數。雙重迭代中的作法和傳統的CORDIC演算法不同，傳統的CORDIC演算法中，迭代變數會在每次迭代時加一。但在雙重迭代中，迭代變數會先重複一次，然後才加一。因此雙重迭代CORDIC演算法的迭代變數會是${\displaystyle i=0,0,1,1,2,2\dots }$，而傳統CORDIC演算法的迭代變數是${\displaystyle i=0,1,2\dots }$。雙重迭代法保證方法的收斂，不過其引數的有效範圍會變化。

針對${\displaystyle R}$進制數字系統中，通用的CORDIC收斂問題，可以證明^[25]針對正弦、餘弦及反正切函數，每一個i（i = 0或1到n，其中n是位數）進行${\displaystyle R-1}$次迭代就可以保證收斂。若是自然對數、指數、雙曲正弦、雙曲餘弦及雙曲反正切函數，每一個i需要進行${\displaystyle R}$次迭代。若是反正弦函數及反餘弦函數，每一個i需要進行2 ${\displaystyle R-1}$次的迭代^[25]。

若是雙曲反正弦及雙曲反餘弦函數，每一個i需要進行2R次的迭代。

相關演算法

CORDIC屬於「移位及加法」（shift-and-add）的演算法，就像Henry Briggs文獻提到的對數和指數演算法一樣。BKM演算法（英語：BKM algorithm）也是可以計算許多基本函數的移位及加法演算法，是複數平面下對數和指數演算法的推廣。BKM可以計算實數角度${\displaystyle x}$（以弧度表示）的正弦和餘弦，其方式是計算${\displaystyle 0+ix}$的指數，也就是${\displaystyle \operatorname {cis} (x)=\cos(x)+i\sin(x)}$。BKM演算法比CORDIC要複雜一些，但其優點是不需考慮比例因子（K）。

相關條目

• 計算方根的方法（英語：Methods of computing square roots）
• IEEE 754
• 浮點運算器

參考資料

1. Volder, Jack E. The CORDIC Computing Technique (PDF). Proceedings of the Western Joint Computer Conference (WJCC) (presentation) (San Francisco, California, USA: National Joint Computer Committee (NJCC)). 1959-03-03: 257–261 [2016-01-02]. （原始內容存檔 (PDF)於2018-06-12）.
2. Volder, Jack E. The CORDIC Trigonometric Computing Technique (PDF). IRE Transactions on Electronic Computers (The Institute of Radio Engineers, Inc. (IRE)). 1959-05-25, 8 (3): 330–334 (reprint: 226–230) (September 1959) [2016-01-01]. EC-8(3):330–334. （原始內容 (PDF)存檔於2021-06-12）. 請檢查|publication-date=中的日期值 (幫助)
3. Walther, John Stephen. 寫於Palo Alto, California, USA. A unified algorithm for elementary functions (PDF). Proceedings of the Spring Joint Computer Conference (Atlantic City, New Jersey, USA: Hewlett-Packard Company). May 1971, 38: 379–385 [2016-01-01]. （原始內容 (PDF)存檔於2021-06-12） –透過American Federation of Information Processing Societies (AFIPS).
4. Walther, John Stephen. The Story of Unified CORDIC. The Journal of VLSI Signal Processing (Hingham, MA, USA: Kluwer Academic Publishers). June 2000, 25 (2 (Special issue on CORDIC)): 107–112 [2024-01-28]. ISSN 0922-5773. S2CID 26922158. doi:10.1023/A:1008162721424. （原始內容存檔於2018-12-08）.
5. Luo, Yuanyong; Wang, Yuxuan; Ha, Yajun; Wang, Zhongfeng; Chen, Siyuan; Pan, Hongbing. Generalized Hyperbolic CORDIC and Its Logarithmic and Exponential Computation With Arbitrary Fixed Base. IEEE Transactions on Very Large Scale Integration (VLSI) Systems. September 2019, 27 (9): 2156–2169. S2CID 196171166. doi:10.1109/TVLSI.2019.2919557.
6. Luo, Yuanyong; Wang, Yuxuan; Ha, Yajun; Wang, Zhongfeng; Chen, Siyuan; Pan, Hongbing. Corrections to "Generalized Hyperbolic CORDIC and Its Logarithmic and Exponential Computation With Arbitrary Fixed Base". IEEE Transactions on Very Large Scale Integration (VLSI) Systems. September 2019, 27 (9): 2222. S2CID 201711001. doi:10.1109/TVLSI.2019.2932174.
7. Briggs, Henry. Arithmetica Logarithmica. London. 1624. (Translation: [1] 互聯網檔案館的存檔，存檔日期4 March 2016.)
8. Laporte, Jacques. Henry Briggs and the HP 35. Paris, France. 2014 [2016-01-02]. （原始內容存檔於2015-03-09）. [2] 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2020-08-10.
9. Flower, Robert. The Radix. A new way of making logarithms.. London: J. Beecroft. 1771 [2016-01-02].
10. Volder, Jack E., Binary Computation Algorithms for Coordinate Rotation and Function Generation (internal report), Convair, Aeroelectronics group, 1956-06-15, IAR-1.148
11. Volder, Jack E. The Birth of CORDIC (PDF). Journal of VLSI Signal Processing (Hingham, MA, USA: Kluwer Academic Publishers). June 2000, 25 (2 (Special issue on CORDIC)): 101–105 [2016-01-02]. ISSN 0922-5773. S2CID 112881. doi:10.1023/A:1008110704586. （原始內容 (PDF)存檔於2016-03-04）.
12. Perle, Michael D., CORDIC Technique Reduces Trigonometric Function Look-Up, Computer Design (Boston, MA, USA: Computer Design Publishing Corp.), June 1971: 72–78 (NB. Some sources erroneously refer to this as by P. Z. Perle or in Component Design.)
13. Schmid, Hermann. Decimal Computation 1 (reprint). Malabar, Florida, USA: Robert E. Krieger Publishing Company. 1983: 162, 165–176, 181–193 [2016-01-03]. ISBN 0-89874-318-4. (NB. At least some batches of this reprint edition were misprints with defective pages 115–146.)
14. Daggett, Dan H. Decimal-Binary Conversions in CORDIC. IRE Transactions on Electronic Computers (The Institute of Radio Engineers, Inc. (IRE)). September 1959, 8 (3): 335–339 [2016-01-02]. ISSN 0367-9950. doi:10.1109/TEC.1959.5222694. EC-8(3):335–339.
15. Meher, Pramod Kumar; Valls, Javier; Juang, Tso-Bing; Sridharan, K.; Maharatna, Koushik. 50 Years of CORDIC: Algorithms, Architectures and Applications (PDF). IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. 2008-08-22, 56 (9): 1893–1907 (2009-09-09) [2024-01-28]. S2CID 5465045. doi:10.1109/TCSI.2009.2025803. （原始內容存檔 (PDF)於2024-04-28）. 請檢查|publication-date=中的日期值 (幫助)
16. Meher, Pramod Kumar; Park, Sang Yoon. Low Complexity Generic VLSI Architecture Design Methodology for Nth Root and Nth Power Computations. IEEE Transactions on Very Large Scale Integration (VLSI) Systems. February 2013, 21 (2): 217–228. S2CID 7059383. doi:10.1109/TVLSI.2012.2187080.
17. Error bounds of Taylor Expansion for Sine. Math Stack Exchange. [2021-01-01].
18. Muller, Jean-Michel. Elementary Functions: Algorithms and Implementation 2. Boston: Birkhäuser. 2006: 134 [2015-12-01]. ISBN 978-0-8176-4372-0. LCCN 2005048094. （原始內容存檔於2011-06-05）.
19. Andraka, Ray. A survey of CORDIC algorithms for FPGA based computers (PDF). ACM (North Kingstown, RI, USA: Andraka Consulting Group, Inc.). 1998 [2016-05-08]. 0-89791-978-5/98/01. （原始內容存檔 (PDF)於2024-04-23）.
20. Class Math. Java Platform Standard 8. Oracle Corporation. 2018 [2018-08-06]. （原始內容存檔於2018-08-06）.
21. ldexp, ldexpf, ldexpl. cppreference.com. 2015-06-11 [2018-08-06]. （原始內容存檔於2018-08-06）.
22. Section 8.3.9 Logarithmic, Exponential, and Scale. Intel 64 and IA-32 Architectures Software Developer's Manual Volume 1: Basic Architecture (PDF). Intel Corporation. September 2016: 8–22 [2024-01-29]. （原始內容存檔 (PDF)於2013-04-02）.
23. Baykov, Vladimir. The outline (autoreferat) of my PhD, published in 1972. baykov.de. [2023-05-03]. （原始內容存檔於2011-01-11）.
24. Baykov, Vladimir. Hardware implementation of elementary functions in computers. baykov.de. [2023-05-03]. （原始內容存檔於2011-01-15）.
25. Baykov, Vladimir. Special-purpose processors: iterative algorithms and structures. baykov.de. [2023-05-03]. （原始內容存檔於2011-07-18）.

外部連結