離心率向量

在航天動力學裏，一個圓錐曲線的離心率向量是一個向量，從焦點指向近拱點，量值等於軌道的離心率純量，是個無因次量。

計算

離心率向量 (eccentricity vector) ${\displaystyle \mathbf {e} \,}$ 是個大小等於軌道離心率 (eccentricity ) 且方向指向近心點 (periapsis 或 pericenter) 的向量。對開普勒軌道而言，它是個運動常數。在使用狀態向量 (${\displaystyle \mathbf {r} ,\mathbf {v} }$) 進行軌道測定或軌道決定 (orbit determination, OD) 時，它可以決定諸多與運動有關的軌道要素，如離心率 (${\displaystyle e}$) (eccentricity) 及半長軸 (${\displaystyle a}$) (semi-major axis)，並可指出近心點方向，以便計算近心點引數 ${\displaystyle \omega }$ (argument of periapsis)、真近心點離角(真近點角) ${\displaystyle \nu }$ (true anomaly)。在攝動或擾動 (perturbation) 分析時, 因為實際軌道上的攝動（非開普勒）力將使密切 (osculating) 離心率向量不斷變化，故用來分析幾乎為圓形的軌道時非常有用。該向量可以由任何時間${\displaystyle t\!\,}$的軌道狀態向量（orbital state vector）中的速度向量${\displaystyle \mathbf {v} \!\,}$與位置向量${\displaystyle \mathbf {r} \!\,}$計算出來^[1]:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} &={\mathbf {v} \times \mathbf {h} \over {\mu }}-{\mathbf {r} \over {\left|\mathbf {r} \right|}}\\&=\left({\mathbf {\left|v\right|} ^{2} \over {\mu }}-{1 \over {\left|\mathbf {r} \right|}}\right)\mathbf {r} -{\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \over {\mu }}\mathbf {v} \\\end{aligned}}}$

第二個等式可以直接根據以下向量恆等式(運算並分別集結位置和速度分量後)推導出來:

${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)=\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {r} -\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {v} }$

其中:

• ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 為 位置向量 (position vector)
• ${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ 為 速度向量 (velocity vector)
• ${\displaystyle \mathbf {h} \,\!}$ 為 比角動量向量 (specific angular momentum vector) (${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$)
• ${\displaystyle \mu \,\!}$ 為 標準重力參數 (standard gravitational parameter)。

換另一種表示方法，離心率向量也可以由質量為${\displaystyle m\!\,}$的物體的角動量${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} (=m\,\mathbf {h} )}$計算出來：

${\displaystyle \mathbf {e} ={\mathbf {v} \times \mathbf {L} \over {m\mu }}-{\mathbf {r} \over {\left|\mathbf {r} \right|}}}$。

參閱

• 離心率
• 軌道
• 拉普拉斯-龍格-楞次向量

1. Cordani, Bruno. The Kepler Problem. Birkhaeuser. 2003: 22. ISBN 3-7643-6902-7.