莫爾斯同調

微分拓撲中，莫爾斯同調是光滑流形的同調論，利用光滑結構和流形上的輔助度量來構造，而結果是拓撲不變的，實際上同構於奇異同調。莫爾斯同調也是弗洛爾同調的各種無窮維推廣的模型。

正式定義

給定任意（緊）光滑流形，令f是莫爾斯函數，g是其上的黎曼度量（這些都是輔助性的，歸根結底莫爾斯同調不依賴於它們）。${\displaystyle (f,g)}$給出了梯度向量場。若同f所有臨界點相關聯的穩定與不穩定流形與彼此橫截相交，則稱${\displaystyle (f,g)}$為莫爾斯–斯梅爾對。

對任何這樣的一對${\displaystyle (f,g)}$，可以證明任意兩臨界點之間的指標之差等於點間梯度流的模空間維度。於是，索引為i的臨界點與指標為${\displaystyle i-1}$的臨界點間存在1維流模空間。每個流都可通過定義域中的1維平移進行重參數化。模去重參數化後，商空間是0維，即未參數化流線的有向點集。

鏈復形${\displaystyle C_{*}(M,(f,g))}$可定義如下。鏈集是臨界點生成的Z-模。復形的微分d將指標為i的臨界點p送到指標-${\displaystyle (i-1)}$臨界點之和，係數對應p到指標${\displaystyle (i-1)}$-臨界點的未參數化流線的（有符號）數字。因為模空間的緊性，所以此種流線數量有限。

從對梯度流模空間如何緊化的理解，這定義了鏈復形（${\displaystyle d^{2}=0}$）。即，${\displaystyle d^{2}(p)}$中，指標-${\displaystyle (i-2)}$臨界點q的係數是由從p到指標為${\displaystyle i-1}$的某臨界點r的指標1流，以及r到q的另一個指標1流組成的斷裂流的（有符號）數。斷裂流恰好構成了指標2流的模空間邊界：任何不斷裂指標2流序列的極限都可以證明是這種形式，而且所有斷裂流都作為不斷裂指標2流的極限出現。非參數化指標2流以1維族形式出現，會緊化為有界緊1維流形。緊1維流形的界的符號計數為0證明${\displaystyle d^{2}(p)=0}$。

莫爾斯同調不變性

可以證明，此復形的同調與用於定義它的莫爾斯–斯梅爾對${\displaystyle (f,\ g)}$無關。總可以定義在任意兩給定對${\displaystyle (f_{0},\ g_{0}),\ (f_{1},\ g_{1})}$之間插值的對${\displaystyle (f_{t},\ g_{t})}$的同倫。通過分岔分析或連續映射，總可以定義${\displaystyle C_{*}(M,(f_{0},g_{0}))}$到${\displaystyle C_{*}(M,(f_{1},g_{1}))}$的鏈映射，可以證明這兩個莫爾斯同調同構。使用同倫同倫的類似論證表明，這種同構是規範的。

另一種證明莫爾斯同調不變性的方法是將其與奇異同調直接關聯起來。可以定義到達奇異同調的映射：將臨界點送到與之相關聯的非穩定流形相關聯的奇異鏈。反過來，奇異鏈通過梯度向量場的流被送到極限臨界點。要嚴格做到這一點，最簡單的方法是使用流理論。

將與指標為i的臨界點相關聯的非穩定流形視作i-胞腔（cell），並證明莫爾斯對應於胞腔復形的有界映射，於是得到與胞腔同調的同構，這樣也可以證明與奇異同調的同構。

相關構造

這種莫爾斯方法的構造來自勒內·托姆與斯蒂芬·斯梅爾的工作。約翰·米爾諾關於h-配邊理論的書中也隱式地使用了這種方法。

從莫爾斯同調同構於奇異同調的事實出發，考慮適當秩的同調群所需生成子（臨界點）數量（，並考慮莫爾斯復形的截斷類型（truncation），得到更強的不等式），可得莫爾斯不等式。莫爾斯同調的存在從範疇化的意義上「解釋」了莫爾斯不等式。

愛德華·威滕在1980年代初提出了一個相關構造，有時也稱作莫爾斯–威滕理論。

莫爾斯同調可以推廣到指標有限、度量完整、函數滿足帕萊-斯梅爾緊性條件的有限維非緊/無限維流形，如黎曼流形上測地線的能量泛函。指標與余指標都無窮、但任何一對臨界點的相對指標都有限的推廣就是弗洛爾同調。

謝爾蓋·彼得羅維奇·諾維科夫將這一構造推廣到與流形上閉1形式相關聯的同調論。莫爾斯同調是1形式${\displaystyle {\rm {d}}f}$的特例。諾維科夫理論的一個特例是圓值莫爾斯理論，Michael Hutchings與Yi-Jen Lee將其同解析扭子與塞伯格-威滕理論聯繫起來。

莫爾斯–博特同調

莫爾斯同調可在莫爾斯–博特環境下進行，即，當函數沒有孤立的非退化臨界點、而有臨界流形（且在某點的切空間與該店的黑塞核重合）。若待研究函數在非離散李群上不變，這種情形就會經常出現。

為描述由此產生的鏈復形及其同調，要在每個臨界子流形上引入一般莫爾斯函數。鏈將由以下路徑組成：始於輔助莫爾斯函數臨界點的臨界流形，沿着關於某度量的梯度軌跡離開子流形，沿莫爾斯–博特函數的梯度向量場直到遇到其他臨界流形，或者沿臨界子流形上莫爾斯函數相關聯的梯度軌跡流動一段時間，直到遇到另一個臨界子流形等等；或流到原子流形中的臨界點，並停止。見(Frauenfelder)。這種莫爾斯–博特同調的構造見於Bourgeois關於切觸同調的未發表工作中，當中臨界子流形是里布軌道集，臨界子流形間的梯度流是辛化切觸流形中的偽全純曲線，趨近於里布軌道的相關臨界流形中的里布軌道。 若將每個莫爾斯函數擴展為臨界子流形附近支持的整個流形上的一個函數，就可以顯式地寫下擾動原莫爾斯–博特函數的莫爾斯–斯梅爾函數。即，將每個擴展後的函數乘以某小的正常數，求和並將結果加到原莫爾斯–博特函數上。前述斷裂流將會${\displaystyle C^{0}}$接近這個莫爾斯–斯梅爾函數的流線。

參考文獻

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