閉形式和恰當形式

在數學，特別是向量分析與微分拓撲中，一個閉形式 ${\displaystyle \alpha }$ 是微分算子 ${\displaystyle d}$ 的核（又被稱為零空間），即 ${\displaystyle d\alpha =0}$的微分形式；而恰當形式(恰當微分形式) ${\displaystyle \alpha }$ 是微分算子 ${\displaystyle d}$ 的像，即存在某個微分形式 ${\displaystyle \beta }$ 使得 ${\displaystyle \alpha =d\beta }$，${\displaystyle \beta }$ 稱為關於 ${\displaystyle \alpha }$ 的一個「本原」。

因為 ${\displaystyle d^{2}=0}$，所以恰當形式一定是閉形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考慮一個閉形式是不是恰當的，可由不同的條件檢測拓撲信息來得知。問一個 0-形式是否恰當沒有意義，因為 ${\displaystyle d}$ 將階數提高 1，不過可以規定恰當 0-形式就是零函數。

當兩個閉形式的差是一個恰當形式時，稱它們為相互上同調的。這便是說，如果 ${\displaystyle \zeta }$ 與 ${\displaystyle \eta }$ 是閉形式，且存在某個 ${\displaystyle \beta }$ 使得

${\displaystyle \zeta -\eta =d\beta \ ,}$

那麼 ${\displaystyle \zeta }$ 與 ${\displaystyle \eta }$ 是互相上同調的。恰當形式經常稱為上同調於零。相互上同調的形式的集合組成了一個德拉姆上同調類中的一個元素；對這樣的類作一般性研究稱為上同調理論。

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 與 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 上的微分形式已經為十九世紀的數學物理所熟知。在平面上，0-形式就是函數，2-形式是函數乘以基本面積元 ${\displaystyle dx\wedge dy}$，故只有 1-形式

${\displaystyle \alpha =f(x,y)dx+g(x,y)dy\ ,}$

具有真正的意義，其外導數 ${\displaystyle d}$ 是

${\displaystyle d\alpha =(g_{x}-f_{y})dx\wedge dy\ ,}$

這裏下標表示偏導數。從而 ${\displaystyle \alpha }$「閉」的條件是

${\displaystyle f_{y}=g_{x}\ .}$

當 ${\displaystyle h(x,y)}$ 是一個函數時則

${\displaystyle dh=h_{x}dx+h_{y}dy\ .}$

「恰當形式是閉形式」便是關於 x 與 y 二階導數的對稱性的一個推論，這可以直接推廣到高維情形。

在${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$上，恰當 1-形式相當於有勢場（保守場），閉 1-形式相當於無旋場。故「恰當形式是閉形式」用向量分析的語言來說相當於有勢場一定是無旋場。

龐加萊引理

龐加萊引理指出，在 一個n-維度域 Rⁿ 中的開球上的每個封閉的p-微分形式對於 p 都是恰當的，這裏 1 ≤ p ≤ n 。^[1] 更一般地，引理指出，在流形的可收縮開子集（例如 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$）上，閉 p-形式 p > 0 時是恰當的。^{[需要解釋]}