在 可微 的實函數 或複函數
f
{\displaystyle f}
臨界點 （英語：Critical point ）是指在
f
{\displaystyle f}
定義域 中導數 為 0 的點[ 1] [ 2] [ 註 1] 多變數實函數 偏導數 為 0 的點[ 3] 函數值 稱為臨界值。
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駐點 。
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臨界點 (數學) 」標題相近或相同的條目頁，請見「
臨界點 」。
紅點的 x 座標(橫坐標)是臨界點；藍點的 x 座標是反曲點 這個概念重要的地方在於函數的局部極值 會發生在臨界點 上。
這個定義可以延伸到
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
雅可比矩陣 的秩 不是最大的點。更進一步可以再延伸到微分流形 之間的可微函數，在這個情況下臨界點也可以被稱為歧點 。
特別的，假設
C
{\displaystyle C}
隱函數
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0}
平面曲線 。把
C
{\displaystyle C}
C
{\displaystyle C}
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}
隱函數定理 的點。
臨界點這個概念能夠使用數學來描述哥白尼 時代之前無法解釋的天文學 現象，一個星球的軌跡的留點是一個在天球 的星球軌跡上星球轉向其他方向前看起來停止的點，因為它是在黃道圓 上軌跡投影的臨界點。
一個可微 實函數
f
{\displaystyle f}
臨界點
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
{\displaystyle f}
定義域 中導數 為0的點:
f
′
(
x
0
)
=
0
{\displaystyle f'(x_{0})=0}
臨界值 是臨界點在
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
函數圖形 來具象化:函數圖形在臨界點的位置會有水平切線 而且函數的導數為0。雖然臨界點可以藉由函數圖形來具現化，但函數臨界點的概念和曲線在某些方向上的臨界點的概念並不能混為一談。如果
g
(
x
,
y
)
{\displaystyle g(x,y)}
函數 ，
g
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle g(x,y)=0}
隱式方程 ，這樣的曲線對於平行 y 軸的投影(映射
(
x
,
y
)
→
x
{\displaystyle (x,y)\rightarrow x}
臨界點 ，是曲線上滿足
∂
g
∂
y
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0}
隱函數定理 )。如果
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
臨界值 。這樣的臨界點也可以被稱為歧點 ，而且當x變動時，在
x
0
{\displaystyle x_{0}}
如果
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
y
0
{\displaystyle y_{0}}
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
f
{\displaystyle f}
y
0
{\displaystyle y_{0}}
例如，方程式
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
單位圓 ，將單位圓平行 y 軸投影到 x 軸的臨界點是 (0, 1) 和 (0, -1)；將單位圓平行 x 軸投影到 y 軸的臨界點是 (1, 0) 和 (-1, 0)。上半圓是
f
(
x
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
有些作者會將函數
f
{\displaystyle f}
臨界點 定義為
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
函數
f
(
x
)
=
x
2
+
2
x
+
3
{\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}
f
′
(
x
)
=
2
x
+
2
{\displaystyle f'(x)=2x+2}
2
x
0
+
2
=
0
{\displaystyle 2x_{0}+2=0}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
最小值 ，且對應到的臨界值為
f
(
−
1
)
=
2
{\displaystyle f(-1)=2}
f
{\displaystyle f}
拋物線 ，其臨界點是在切線為水平線的頂點 的橫坐標，而臨界值則是頂點縱坐標，或者是說，切線與y軸的交點。
函數
f
(
x
)
=
x
2
3
{\displaystyle f(x)=x^{\frac {2}{3}}}
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
f
′
(
x
)
=
2
3
x
−
1
3
{\displaystyle f'(x)={\frac {2}{3}}x^{-{\frac {1}{3}}}}
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
f
′
(
x
)
≠
0
{\displaystyle f'(x)\neq 0}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
尖點 ，且切線是鉛垂方向。如果視 0 為臨界點，則它對應到的臨界值是 f(0)=0。
函數
f
(
x
)
=
x
3
−
3
x
+
1
{\displaystyle f(x)=x^{3}-3x+1}
f
′
(
x
)
=
3
x
2
−
3
{\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3}
f
{\displaystyle f}
f
(
−
1
)
=
3
{\displaystyle f(-1)=3}
f
(
1
)
=
−
1
{\displaystyle f(1)=-1}
f
(
2
)
=
3
{\displaystyle f(2)=3}
函數
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
根據高斯-盧卡斯定理 ，在複平面 上所有多項式函數的臨界點會落在函數的根 所構成的凸包 內。所以對於一個只有實數解的多項式函數，所有的臨界點會是實數且落在最大的根和最小的根之間。
森多夫猜想 單位圓 中，那麼對於任意給定的根，至少有一個臨界點與其的距離不超過1。
在由隱函數 定義出的平面曲線 的研究上，臨界點扮演重要的角色，特別是在描繪曲線與決定拓樸 結構方面。在本節中，臨界點定義由以下段落給出，它可能看起來與前面的定義完全不同，但事實上，它是前面定義的一個特殊情形。二維平面 上的曲線
C
{\displaystyle C}
笛卡爾座標 滿足由雙變數可微函數
f
{\displaystyle f}
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0}
π
x
{\displaystyle \pi _{x}}
π
y
{\displaystyle \pi _{y}}
π
x
(
x
,
y
)
=
x
{\displaystyle \pi _{x}(x,y)=x}
π
y
(
x
,
y
)
=
y
{\displaystyle \pi _{y}(x,y)=y}
π
x
{\displaystyle \pi _{x}}
π
y
{\displaystyle \pi _{y}}
如果 C 在某個點上的切線 存在，並且平行y軸，則稱該點是
π
y
{\displaystyle \pi _{y}}
臨界點 。此時，整條切線，包含該點，在
π
y
{\displaystyle \pi _{y}}
像 都是同樣的值，稱為臨界值 。所以
π
y
{\displaystyle \pi _{y}}
f
(
x
,
y
)
=
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}
類似的，我們有
π
x
{\displaystyle \pi _{x}}
y
=
g
(
x
)
{\displaystyle y=g(x)}
函數圖形 ，則
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
π
x
{\displaystyle \pi _{x}}
x
{\displaystyle x}
g
{\displaystyle g}
有些作者將平面曲線 C 的臨界點定義為
π
x
{\displaystyle \pi _{x}}
π
y
{\displaystyle \pi _{y}}
奇點 也定義做臨界點，其中奇點是那些滿足方程式
f
(
x
,
y
)
=
∂
f
∂
x
(
x
,
y
)
=
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}
的點。在這個定義之下，
π
y
{\displaystyle \pi _{y}}
隱函數定理 的點。
如果一個曲線
C
{\displaystyle C}
判別式 會是一個計算臨界點的有用工具。
給定一個從R m 送到R n 的可微分函數 f ，則 f 的臨界點 是那些滿足 f 的雅可比矩陣 的秩小於 n 的點。而臨界點在 f 之下所對應到的像稱為臨界值。如果一個點，位於所有臨界值所形成的集合的補集之中，便稱之為正則值。根據薩爾德定理
這個定義可以延伸到微分流形 上的可微函數。
Stewart, James . Calculus: Early Transcendentals 6th. Brooks/Cole . 2008. ISBN 0-495-01166-5 
