駐點

此條目介紹的是駐點或者一個真實變量的實值函數的臨界點。關於一般概念，請見「臨界點 (數學)」。關於物理學上流體中速度為零的點，請見「滯點」。

駐點（英語：stationary point）或穩定點在數學，特別在微積分中是指函數在一點處的一階導數為零，該點即函數的駐點。

y = x + sin(2x) 的圖像
駐點（紅色）與拐點（藍色），這圖像的駐點都是局部極大值或局部極小值。

y = x³ 的圖像
原點(0,0)是駐點，但不是局部極值。

也就是說若 ${\displaystyle p}$ 為駐點則

${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{p}=0\,}$

在這一點，函數的輸出值停止增加或減少。

對於一維函數的圖像，駐點的切線平行於x軸即水平切線。對於二維函數的圖像，駐點的切平面平行於xy平面。

值得注意的是，一個函數的駐點不一定是這個函數的極值點^{[註 1]}；反過來，在某設定區域內，一個函數的極值點也不一定是這個函數的駐點^{[註 2]}，例如函數${\displaystyle f(x)=x^{3}}$。對於可微函數，極值點一定是駐點。

靜態平衡系統

在分析力學裏，虛功原理闡明，對於一個靜態平衡系統，所有外力的作用，經過虛位移，所作的虛功，總合等於零，以方程式表達，

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0\,}$；

其中，${\displaystyle \delta W\,}$是虛功，${\displaystyle \mathbf {F} _{i}\,}$是第${\displaystyle i\,}$個外力，${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\,}$是對應於${\displaystyle \mathbf {F} _{i}\,}$的虛位移。

轉換為以廣義力${\displaystyle F_{i}\,}$和廣義坐標${\displaystyle q_{i}\,}$表達，

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}F_{i}\delta q_{i}=0\,}$；

假設這系統是保守系統，則每一個廣義力都是一個純量的廣義位勢函數${\displaystyle V(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})\,}$的對於其對應的廣義坐標的導數：

${\displaystyle F_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}\,}$。

虛功與廣義位勢的關係為

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}=-\delta V=0\,}$。

所以，一個靜態平衡系統的位勢${\displaystyle V\,}$乃是個局域平穩值。注意到這系統只處於平穩狀態。假設，要求這這系統處於穩定狀態，則位勢${\displaystyle V\,}$必須是個局域極小值。

歐拉-拉格朗日方程式

主條目：歐拉-拉格朗日方程式

在變分法裏，歐拉-拉格朗日方程式是從其對應的泛函的平穩點推導出的一種微分方程式。設定

${\displaystyle \mathbf {y} (x)=(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,y_{N}(x))\,\!}$，

${\displaystyle {\dot {\mathbf {y} }}(x)=({\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x))\,\!}$，

${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=f(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,\ y_{N}(x),\ {\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x),\ x)\,\!}$。

若${\displaystyle \mathbf {y} (x)\in (C^{1}[a,\ b])^{N}\,\!}$使泛函${\displaystyle J(\mathbf {y} )=\int _{a}^{b}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)dx\,\!}$取得局部平穩值，則在區間${\displaystyle (a,\ b)\,\!}$內對於所有的${\displaystyle i=1,\ 2,\ \ldots ,\ N\,\!}$，歐拉-拉格朗日方程式成立：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)-{\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=0\,\!}$。

註釋

1. 考慮到這一點左右一階導數符號不改變的情況
2. 考慮到邊界條件

參見

• 最佳化
• 費馬引理
• 鞍點
• 不動點