莫爾斯理論

在微分拓撲中，莫爾斯理論使人們能通過流形上的可微函數分析流形的拓撲。根據馬斯頓·莫爾斯的基本見解，流形上的可微函數在典型的情況下，直接反映了該流形的拓撲。莫爾斯理論允許人們在流形上找到CW結構和柄分解，並得到關於它們的同調的資訊。

在莫爾斯之前，阿瑟·凱萊和麥克斯韋在測繪學中發展了莫爾斯理論中的一些思想。莫爾斯最初將他的理論用於測地線（路徑的能量泛函的臨界點）。這些技術被拉烏爾·博特用於他的著名的博特週期性定理的證明中。 莫爾斯理論在複流形中的類似理論是皮卡第–萊夫謝茨理論。

基本概念

鞍點

考慮山地地表表面M（或流形）。若函數f${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$給出當點海拔，則${\displaystyle \mathbb {R} }$中一點的原像就是一條等高線（或水平集）。等高線的連通組分或者是點，或者是簡單閉合曲線，或者是有二重點的閉合曲線。等高線也可能有更高階的點（三重點等等），但不穩定，可能因地形的輕微變化而消失。等高線中的二重點出現在鞍點或通路。

鞍點附近的等高線

想像用水淹沒等高線下的地形。水位達到a時，水下的表面是${\displaystyle M^{a}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,f^{-1}(-\infty ,a]}$，海拔不高於a的點。想像一下隨着水位上升，這個面的拓撲結構將如何變化。除了當a經過臨界點的海拔時，f的梯度都為0（更一般地，作為切空間之間線性映射的雅可比矩陣不具有最大秩）。也就是說，除非(1)水流注入盆地，(2)覆蓋鞍點（山道），或(3)淹沒山頂，否則${\displaystyle M^{a}}$的拓撲不變。

環面

盆地、山路、山頂（即最小點、鞍點、最大點）這三類臨界點，一般與指標（index）有關，即f從該點遞減的獨立方向數。或者說，f的非退化臨界點p的指標是M在p處切空間的最大子空間的維度，其中f的黑塞矩陣是負定的。盆地、山路、山頂的指標分別是${\displaystyle 0,1,2}$。

考慮更一般的面，令M是方向如圖所示的環面，f還是點到平面的距離。可以再次分析水下面${\displaystyle M^{a}}$的拓撲結構如何隨水位a上升而變化。

${\displaystyle f(q)<a<f(r)}$時，由${\displaystyle M^{a}}$形成的圓柱體（右上）與附着於圓盤的1-胞腔（左下）同倫等價。

${\displaystyle f(r)<a<f(s)}$時，由${\displaystyle M^{a}}$形成的去圓盤環面（右上）與附着於圓柱的1-胞腔（左下）同倫等價。

從環面底部開始，令${\displaystyle p,q,r,s}$分別是指標為${\displaystyle 0,1,1,2}$的臨界點，對應最小值、兩個鞍點、最大值。${\displaystyle a<f(p)=0}$時，${\displaystyle M^{a}}$是空集；a經過p的海拔之後有${\displaystyle 0<a<f(q)}$，則${\displaystyle M^{a}}$是圓盤，它同倫等價於「附着」到空集的一個點（0-胞腔）。接着，a越過q的海拔時有${\displaystyle f(q)<a<f(r)}$，則${\displaystyle M^{a}}$是圓柱，同倫等價於附着了1-胞腔的圓盤（左圖）。a越過r的海拔時有${\displaystyle f(r)<a<f(s)}$，則${\displaystyle M^{a}}$是去圓盤的環面，同倫等價於附着了1-胞腔的圓柱（右圖）。最後，a高於s的海拔後，${\displaystyle M^{a}}$便是環面了，即去掉一個圓盤（2-胞腔）並重新附着的環面。

這說明了以下規則：除非a越過臨界點，否則${\displaystyle M^{a}}$的拓撲不變；遇到臨界點時，一個${\displaystyle \gamma }$-胞腔會被附着到${\displaystyle M^{a}}$，其中${\displaystyle \gamma }$是點的指標。這沒有說明兩個臨界點位於同一高度時會發生什麼，可以通過擾動f來解決。若是嵌入歐氏空間的景觀或流形，這種擾動可能只是稍微傾斜、旋轉坐標系。

必須注意不能使臨界點退化。設想退化會造成什麼問題：令${\displaystyle M=\mathbb {R} }$、${\displaystyle f(x)=x^{3}}$。則0是f的一個臨界點，但a經過0時${\displaystyle M^{a}}$的拓撲並不改變。這是因為f在0的二階導${\displaystyle f''(0)=0}$，也就是f的黑塞矩陣為0，臨界點退化。這種情形是不穩定的，因為將f擾動為${\displaystyle f(x)=x^{3}+\epsilon x}$，則退化的臨界點或者被移除（${\displaystyle \epsilon >0}$）或者分解為兩個非退化臨界點（${\displaystyle \epsilon <0}$）。

形式發展

對於微分流形M上的實值光滑函數${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$，f的微分為0的點稱作f的臨界點，在f下的像稱作臨界值。若臨界點p處，二階偏導數矩陣（黑塞矩陣）非奇異，則p稱作非退化臨界點；若黑塞矩陣是奇異的，則p稱作退化臨界點。

函數${\displaystyle f:\ \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$： $${\displaystyle f(x)=a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\cdots }$$ ${\displaystyle b=0}$時，原點是f的一個臨界點。若${\displaystyle c\neq 0}$，則此臨界點是非退化的（即f具有形式${\displaystyle a+cx^{2}+\cdots }$）；若${\displaystyle c=0}$，則此臨界點是退化的（即f具有形式${\displaystyle a+dx^{3}+\cdots }$）。退化臨界點的一個不太平凡的例子是猴鞍面的原點。

f的非退化臨界點p的指標（index）是M在p處的切空間中黑塞矩陣為負定陣的最大子空間的維數。這與指標是f遞減的方向個數的概念直觀對應。臨界點的退化性和指標同所用的局部坐標系無關，如西爾維斯特慣性定理所示。

莫爾斯引理

令p為${\displaystyle f:M\to R}$的非退化臨界點。則，在p的鄰域U中存在卡${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$，使得${\displaystyle \forall i,\ x_{i}(p)=0}$且在整個U中 $${\displaystyle f(x)=f(p)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\gamma }^{2}+x_{\gamma +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$$ 其中${\displaystyle \gamma }$等於f在p處的指標。作為莫爾斯引理的推論，可以看到非退化臨界點是孤點（關於複數域的擴張，可見復莫爾斯引理。關於推廣，見莫爾斯–帕萊引理）。

基本定理

流形M上的光滑實值函數若無退化臨界點，則稱作莫爾斯函數。莫爾斯理論的基本結果表明，幾乎所有函數都是莫爾斯函數。技術上，莫爾斯函數形成了${\displaystyle C^{2}}$拓撲中所有光滑函數${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$的一個開稠密子集，這有時表述為「典型的函數是莫爾斯的」或「通有的函數是莫爾斯的」。

如上述，我們感興趣的是${\displaystyle M^{a}=f^{-1}(-\infty ,a]}$的拓撲何時會隨着a的變化而變化。下面的定理給出了這個問題的一半答案。

定理. 設f是M上的光滑實值函數，${\displaystyle a<b}$，且${\displaystyle f^{-1}[a,b]}$是緊的，且a、b間無臨界值。則${\displaystyle M^{a}}$微分同胚於${\displaystyle M^{b}}$，${\displaystyle M^{b}}$形變收縮到${\displaystyle M^{a}}$上。

我們還有興趣知道，a經過臨界點時${\displaystyle M^{a}}$的拓撲會怎樣變化。下面的定理回答了這個問題。

定理. 設f是M上的光滑實值函數，p是指標為${\displaystyle \gamma }$的f的非退化臨界點，${\displaystyle f(p)=q}$。設${\displaystyle f^{-1}[q-\varepsilon ,q+\varepsilon ]}$是緊的，且除了q以外不包含臨界點。則${\displaystyle M^{q+\varepsilon }}$同倫等價於${\displaystyle M^{q-\varepsilon }}$，並附加了一個${\displaystyle \gamma }$-胞腔。

這些結果是對上一節所述「規則」的推廣與形式化。

用前面兩個結果以及微分流形上存在莫爾斯函數的事實，可以證明微分流形是CW複形，指標為n的臨界點都附加了n-胞腔。可在臨界水平面上安排一個臨界點來證明，通常通過類梯度向量場重排臨界點來實現。

莫爾斯不等式

莫爾斯理論可用於證明流形同調的一些有力結果。函數${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$的指標為${\displaystyle \gamma }$的臨界點數量等於「爬升」f得到的M上CW結構中${\displaystyle \gamma }$-胞腔的數量。利用拓撲空間同調群的秩的交替和等於鏈群（計算同調用）的秩的交替和，用胞腔鏈群（見胞腔同調），很明顯歐拉示性數${\displaystyle \chi (M)}$等於 $${\displaystyle \sum (-1)^{\gamma }C^{\gamma }\,=\chi (M)}$$ 其中${\displaystyle C^{\gamma }}$是指標為${\displaystyle \gamma }$的臨界點數量。同樣根據胞腔同調，CW複形M的第n同調群的秩不大於M中n-胞腔的數量。於是，第${\displaystyle \gamma }$同調群的秩、即貝蒂數${\displaystyle b_{\gamma }(M)}$不大於M上莫爾斯函數的指標為${\displaystyle \gamma }$的臨界點數量。強化這些事實可得到莫爾斯不等式： $${\displaystyle C^{\gamma }-C^{\gamma -1}\pm \cdots +(-1)^{\gamma }C^{0}\geq b_{\gamma }(M)-b_{\gamma -1}(M)\pm \cdots +(-1)^{\gamma }b_{0}(M).}$$

特別地 $${\displaystyle \forall \gamma \in \{0,\ldots ,n=\dim M\},}$$ 都有 $${\displaystyle C^{\gamma }\geq b_{\gamma }(M).}$$

這給出了研究流形拓撲的有力工具。假設在閉流形上存在莫爾斯函數${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$，恰有k個臨界點，則f的存在以何種方式限制了M？Georges Reeb (1952)研究了${\displaystyle k=2}$情形，里布球面定理指出，M同胚於球面${\displaystyle S^{n}}$。${\displaystyle k=3}$情形只可能出現於少數低維情形，M同胚於伊爾斯–柯伊伯流形。 愛德華·威滕 (1982)考慮擾動算子${\displaystyle d_{t}=e^{-tf}de^{tf}}$的德拉姆複形，提出了莫爾斯不等式的解析方法。^[1][2]

用於閉2-流形的分類

莫爾斯理論可用於對閉2-流形在微分同胚意義上進行分類。若M有向，則M依其虧格g分類，且與具有g柄的球面微分同胚：若${\displaystyle g=0}$，則M微分同胚於2-球面；若${\displaystyle g>0}$，則M微分同胚於g 2-環面的連通和。若N無向，則M依正數g分類，微分同胚於g個實射影空間${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}}$的連通和。特別地，當且僅當兩閉2-流形微分同胚時，它們同胚。^[3][4]

莫爾斯同調

莫爾斯同調是理解光滑流形的同調一種很簡單的方法。莫爾斯同調使用莫爾斯函數和黎曼度量的一般選擇來定義，基本定理是：所得的同調是流形的不變量（即與函數和度量無關），同構於流形的奇異同調；這意味着莫爾斯和奇異貝蒂數一致，並給出了莫爾斯不等式的直接證明。莫爾斯同調在辛幾何中的類似物是弗洛爾同調。

莫爾斯–博特理論

莫爾斯函數的概念可以推廣到以非退化流形作為臨界點的函數。莫爾斯–博特函數是流形上的光滑函數，其臨界集是閉子流形，它的黑塞矩陣在法向上非退化（等價地，臨界點處的黑塞矩陣核等於對臨界子流形的切空間）。莫爾斯函數是臨界流形為0維時的特例（於是臨界點處的黑塞矩陣在每個方向上非退化，即無核）。

指標可被自然地認為是一對 $${\displaystyle \left(i_{-},i_{+}\right),}$$ 其中${\displaystyle i_{-}}$是不穩定流形在臨界流形給定點上的維度，${\displaystyle i_{+}=i_{-}+}$臨界流形維度。若莫爾斯–博特函數在臨界軌跡（locus）上被小函數擾動，則在未擾動函數的臨界流形上，擾動函數所有臨界點的指標將介於${\displaystyle i_{-}}$、${\displaystyle i_{+}}$之間。

莫爾斯–博特函數非常有用，因為一般的摩爾斯函數不易處理。能直觀看到、可輕鬆計算的函數通常具有對稱性。拉烏爾·博特在最初證明博特週期性定理時使用了莫爾斯–博特理論。

圓形函數是莫爾斯–博特函數的例子，其中臨界集是圓（的互斥併集）。

莫爾斯同調也可用於莫爾斯–博特函數；莫爾斯–博特同調中的微分是由譜序列算得。Frederic Bourgeois在研究莫爾斯–博特版本的辛場論時勾勒出一種方法，但由於分析上的巨大困難，這項工作從未發表。

另見

• 阿爾姆格倫–匹茨最小-最大理論
• 數字莫爾斯理論
• 離散莫爾斯理論
• 雅可比集
• 拉格朗日格拉斯曼流形

• LS範疇

• 莫爾斯–斯麥爾系統
• 山路定理
• 薩德引理
• 分層莫爾斯理論

參考文獻

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閱讀更多

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