數學中,對一個給定的集合,所有由到自身的可逆映射構成的集合關於映射的合成構成一個,稱為對稱群,記為的任一子群稱為上的置換群(英語:permutation group)。

Quick Facts 群論, 基本概念 ...
群論


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如果是包含個元素的有限集,稱其到自身的可逆映射為置換,其對稱群稱為階對稱群,記為的任一子群亦為置換群。[1]

置換群到被置換的元素的應用稱為群作用;它在對稱性和組合論以及數學的其他很多分支中有應用,也是研究晶體結構等所不可或缺的工具。


定義及基本性質

置換群皆為某個對稱群的子群,它的所有元素都是一集合的置換。因而它的元素所構成的集合是所對應的對稱群中關於映射的合成以及在到反元素的映射下封閉的一個子集,它亦需要包含該集合的恆等函數作為其單位元素

例子

置換通常寫作輪換形式,例如,在輪換指標計算中,給定集合的一個置換若為,可以寫作,或者更常見的寫作,因為保持不變;若物件有單個字母或數字表示,逗號也被省去,所以可以記作

常見的置換群

M = { 1 , 2 } {\displaystyle M=\{1,2\}}

M = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle M=\{1,2,3\}}

M = { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle M=\{1,2,3,4\}}

參看

參考

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