磁矩

磁矩是磁鐵的一種物理性質。處於外磁場的磁鐵，會感受到力矩，促使其磁矩沿外磁場的磁場線方向排列。磁矩可以用向量表示。磁鐵的磁矩方向是從磁鐵的指南極指向指北極，磁矩的大小取決於磁鐵的磁性與量值。不只是磁鐵具有磁矩，載流迴路、電子、分子或行星等等，都具有磁矩。

科學家至今尚未發現宇宙中存在有磁單極子。一般磁性物質的磁場，其泰勒展開的多極展開式，由於磁單極子項目恆等於零，第一個項目是磁偶極子項、第二個項目是磁四極子（quadrupole）項，以此類推。磁矩也分為磁偶極矩、磁四極矩等等部分。從磁矩的磁偶極矩、磁四極矩等等，可以分別計算出磁場的磁偶極子項目、磁四極子項目等等。隨着距離的增遠，磁偶極矩部分會變得越加重要，成為主要項目，因此，磁矩這術語時常用來指稱磁偶極矩。有些教科書內，磁矩的定義與磁偶極矩的定義相同^[1]。

概述

一個載流迴圈的磁偶極矩是其所載電流乘以迴路面積：

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}$；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}$為磁偶極矩，${\displaystyle I\,\!}$為電流，${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$為面積向量。磁偶極矩、面積向量的方向是由右手定則決定。

處於外磁場的載流迴圈，其感受到的力矩和其位能與磁偶極矩的關係為：

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {B} \,\!}$、

${\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}$；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}$為力矩，${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$為磁場，${\displaystyle U\,\!}$為位能。

許多基本粒子，例如電子，都具有內稟磁矩。這種內稟磁矩是許多巨觀磁場力的來源，許多物理現象也和此有關。這種磁矩和經典物理的磁矩不同，而是和粒子的自旋有關，必須用量子力學來解釋。這些內稟磁矩是量子化的，最小的基本單位，常常稱為「磁子」（magneton）。例如，電子自旋的磁矩與玻爾磁子的關係式為：

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{s}=-g_{s}\mu _{B}\mathbf {S} /\hbar \,\!}$；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{s}\,\!}$為電子自旋的磁矩，電子自旋g因子${\displaystyle g_{s}\,\!}$是一項比例常數，${\displaystyle \mu _{B}\,\!}$為玻爾磁子，${\displaystyle \mathbf {S} \,\!}$為電子的自旋，${\displaystyle \hbar \,\!}$是約化普朗克常數。

單位

採用國際單位制，磁偶極矩的因次是面積×電流。磁偶極矩的單位有兩種等價的表示法：

1 安培·公尺² = 1 焦耳／忒斯拉。

CGS單位制又可細分為幾種亞單位制：靜電單位制（electrostatic units），電磁單位制（electromagnetic units）、高斯單位制。

磁偶極矩單位轉換表^[2]
光速　c = 29,979,245,800 ≈ 3·10¹⁰

語言	國際單位制	靜電單位制	電磁單位制	高斯單位制
中文	1 安培·公尺2 = 1 焦耳／忒斯拉	= (103 c) 靜安培·公分2	= (103) 絕對安培·公分2	= (103) 爾格／高斯
英文	1 A·m2 =1 J/T	= (103 c) statA·cm2	= (103) abA·cm2	= (103) erg／Gauss

磁偶極矩在電磁單位制與在靜電單位制的比例正好等於單位為公分／秒的光速。

在這篇文章內，所有的方程式都採用國際單位制。

兩種磁源

在任何物理系統裏，磁矩最基本的源頭有兩種：

• 電荷的運動，像電流，會產生磁矩。只要知道物理系統內全部的電流密度分佈（或者所有的電荷的位置和速度），理論上就可以計算出磁矩。
• 像電子、質子一類的基本粒子會因自旋而產生磁矩。每一種基本粒子的內稟磁矩的大小都是常數，可以用理論推導出來，得到的結果也已經通過做實驗核對至高準確度。例如，電子磁矩的測量值是−9.284764×10⁻²⁴焦耳／忒斯拉^[3]。磁矩的方向完全決定於粒子的自旋方向（電子磁矩的測量值是負值，這意味着電子的磁矩與自旋呈相反方向）。

整個物理系統的淨磁矩是所有磁矩的向量和。例如，氫原子的磁場是以下幾種磁矩的向量和：

• 電子的自旋。
• 電子環繞着質子的軌域運動。
• 質子的自旋。

再舉個例子，構成條形磁鐵的物質，其未配對電子的內稟磁矩和軌域磁矩的向量和，是條形磁鐵的磁矩。

計算磁矩的方程式

平面迴圈

假設一個平面載流迴圈的面積向量為${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$、所載電流為${\displaystyle I\,\!}$，則其磁偶極矩為${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}$。

對於最簡單的案例，平面載流迴圈的磁偶極矩${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}$是

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}$；

其中，${\displaystyle I\,\!}$是迴圈所載有的恆定電流，${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$是平面迴圈的面積向量。

面積向量和磁偶極矩的方向是由右手定則給出：令四隻手指朝着電流方向彎曲，伸直大拇指，則大拇指所指的方向即是面積向量的方向，也是磁偶極矩的方向。

這有限面積的載流迴圈還有更高階的磁矩，像磁四極矩，磁八極矩等等。假設載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}$不變，則所有更高階的磁矩會趨向於零，這真實的載流迴圈趨向於理想磁偶極子，或純磁偶極子。

任意迴路

對於任意迴路案例，假設迴路載有恆定電流${\displaystyle I\,\!}$，則其磁偶極矩為

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} \,\!}$；

其中，${\displaystyle \mathbb {S} \,\!}$是積分曲面，${\displaystyle \mathbb {C} \,\!}$是${\displaystyle \mathbb {S} \,\!}$邊緣的閉合迴路，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} \,\!}$是微小面積元素，${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}$是微小線元素，${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$是${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}$的位置。

引用向量恆等式

${\displaystyle \int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} ={\frac {1}{2}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}$，

即可得到磁偶極矩的路徑積分方程式

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {I}{2}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}$。

任意電流分佈

對於最廣義的任意電流分佈案例，磁偶極矩為

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \mathbf {J} \ \mathrm {d} V\,\!}$；

其中，${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$是積分體積，${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$是源電流位置，${\displaystyle \mathbf {J} \,\!}$是電流密度，${\displaystyle \mathrm {d} V\,\!}$是微小體積元素。

任意一群移動電荷，像旋轉的帶電固體，都可以用這方程式計算出其磁偶極矩。

基本粒子

在原子物理學和核子物理學裏，磁矩的大小標記為${\displaystyle \mu \,\!}$，通常測量單位為玻爾磁子或核磁子（nuclear magneton）。磁矩關係到粒子的自旋，和／或粒子在系統內的軌域運動。以下列表展示出一些粒子的內稟磁矩：

一些基本粒子的內稟磁矩和自旋^[4]

粒子	內稟磁矩（10−27 焦耳／忒斯拉）	自旋量子數
電子	-9284.764	1/2
質子	+14.106067	1/2
中子	-9.66236	1/2
緲子	-44.904478	1/2
重氫	+4.3307346	1
氫-3	+15.046094	1/2

欲知道更多有關於磁矩與磁化強度之間的物理關係，請參閱條目磁化強度。

載流迴路產生的磁場

磁偶極子的磁場線。從側面望去，磁偶極子豎立於繪圖的中央。

載流迴路會在周圍產生磁場。這磁場包括偶極磁場與更高次的多極項目。但是，隨着距離的增遠，這些多極項目會更快速地減小，因此，在遠距離位置，只有偶極項目是磁場的顯要項目。

思考一個載有恆定電流${\displaystyle I\,\!}$的任意局域迴路${\displaystyle \mathbb {C} \,\!}$，其磁矢勢${\displaystyle \mathbf {A} \,\!}$為

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} '}\ {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$是檢驗位置，${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$是源頭位置，是微小線元素${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'\,\!}$的位置，${\displaystyle \mu _{0}\,\!}$是磁常數。

假設檢驗位置足夠遠，${\displaystyle r>r'\,\!}$，則表達式${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\!}$可以泰勒展開為

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}={\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{\infty }\ \left({\frac {r'}{r}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta ')\,\!}$；

其中，${\displaystyle P_{n}(\cos \theta ')\,\!}$是勒讓德多項式，${\displaystyle \theta '\,\!}$是${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$與${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$之間的夾角。

所以，磁矢勢展開為

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }\ {\frac {1}{r^{n+1}}}\oint _{\mathbb {C} '}\ (r')^{n}P_{n}(\cos \theta ')\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'\,\!}$。

思考${\displaystyle n=0\,\!}$項目，也就是磁單極子項目：

${\displaystyle \mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r}}\oint _{\mathbb {C} '}\ \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'=0\,\!}$。

由於閉合迴路的向量線積分等於零，磁單極子項目恆等於零。

再思考${\displaystyle n=1\,\!}$項目，也就是磁偶極子項目：

${\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{2}}}\ \oint _{\mathbb {C} '}\ r'\cos \theta '\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{2}}}\ (-{\hat {\mathbf {r} }}\times \oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} ')\,\!}$。

注意到磁偶極矩為${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} '\,\!}$，偶極磁矢勢可以寫為

${\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\ {\frac {{\boldsymbol {\mu }}\times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}\,\!}$。

偶極磁場${\displaystyle \mathbf {B} _{1}\,\!}$為

${\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )\,\!}$。

由於磁偶極子的向量勢有一個奇異點在它所處的位置（原點${\displaystyle \mathbf {O} }$），必須特別小心地計算，才能得到正確答案。更仔細地推導，可以得到磁場為

${\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left[3({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-{\boldsymbol {\mu }}\right]+{\frac {2\mu _{0}}{3}}{\boldsymbol {\mu }}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!}$；

其中，${\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!}$是狄拉克δ函數。

偶極磁場的狄拉克δ函數項目造成了原子能級分裂，因而形成了超精細結構（hyperfine structure）^[5]。在天文學裏，氫原子的超精細結構給出了21公分譜線，在電磁輻射的無線電波範圍，是除了3K背景輻射以外，宇宙彌漫最廣闊的電磁輻射。從復合紀元（recombination）至再電離紀元（reionization）之間的天文學研究，只能依靠觀測21公分譜線無線電波。

給予幾個磁偶極矩，則按照疊加原理，其總磁場是每一個磁偶極矩的磁場的總向量和。

處於外磁場的磁偶極子

磁偶極子感受到的磁力矩

處於均勻磁場的一個方形載流迴圈。

如圖右，假設載有電流${\displaystyle I\,\!}$的一個方形迴圈處於外磁場${\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$。方形迴圈四個邊的邊長為${\displaystyle w\,\!}$，其中兩個與${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\,\!}$平行的邊垂直於外磁場，另外兩個邊與磁場之間的夾角角弧為${\displaystyle -\theta +\pi /2\,\!}$。

垂直於外磁場的兩個邊所感受的磁力矩為

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}+IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}\right){\hat {\mathbf {y} }}=Iw^{2}B_{0}\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\,\!}$。

另外兩個邊所感受的磁力矩互相抵消。注意到這迴圈的磁偶極矩為 ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=Iw^{2}{\hat {\boldsymbol {\mu }}}\,\!}$。所以，這迴圈感受到的磁力矩為

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {B} \,\!}$。

令載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}$不變，則這載流迴圈趨向於理想磁偶極子。所以，處於外磁場的磁偶極子所感受到的磁力矩也可以用上述方程式表示。

當磁偶極矩垂直於磁場時，磁力矩的大小是最大值${\displaystyle \mu B_{0}\,\!}$；當磁偶極矩與磁場平行時，磁力矩等於零。

磁偶極子的位能

將載流迴圈從角弧${\displaystyle \theta _{1}\,\!}$扭轉到角弧${\displaystyle \theta _{2}\,\!}$，磁場所做的機械功${\displaystyle W\,\!}$為

${\displaystyle W=-\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ d\theta =-\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\mu B_{0}\sin {\theta }\ d\theta =\mu B_{0}(\cos {\theta _{2}}-\cos {\theta _{1}})\,\!}$。

注意到磁力矩的扭轉方向是反時針方向，而${\displaystyle \theta \,\!}$是朝着順時針方向遞增，所以必須添加一個負號。設定${\displaystyle \theta _{1}=\pi /2\,\!}$，則

${\displaystyle W=\mu B_{0}\cos {\theta _{2}}={\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}$。

對抗這磁場的磁力矩，將載流迴圈從角弧${\displaystyle \pi /2\,\!}$扭轉到角弧${\displaystyle \theta _{2}\,\!}$，所做的機械功${\displaystyle W_{a}\,\!}$為

${\displaystyle W_{a}=-W=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}$。

定義載流迴圈的位能${\displaystyle U\,\!}$等於這機械功${\displaystyle W_{a}\,\!}$，以方程式表示為

${\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}$。

與前段所述同理，磁偶極子的位能也可以用這方程式表示。當磁偶極矩垂直於磁場時，位能等於零；當磁偶極矩與磁場呈相同方向時，位能是最小值${\displaystyle -\mu B_{0}\,\!}$；當磁偶極矩與磁場呈相反方向時，位能是最大值${\displaystyle \mu B_{0}\,\!}$。

非均勻磁場

假設外磁場為均勻磁場，則作用於載流迴路${\displaystyle \mathbb {C} '\,\!}$的磁場力等於零：

${\displaystyle \mathbf {F} =I\oint _{\mathbb {C} '}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times \mathbf {B} =0\,\!}$。

假設外磁場為非均勻的，則會有一股磁場力，作用於磁偶極子。依照磁矩模型的不同，求得的磁場力也會不同^[6]。採用常見的「電流模型」，則一個磁偶極子所感受到的磁場力為

${\displaystyle \mathbf {F} _{\ell }=\nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} )\,\!}$。

另外一種採用「磁荷模型」。這類似電偶極矩的模型，計算出的磁場力為

${\displaystyle \mathbf {F} _{d}=({\boldsymbol {\mu }}\cdot \nabla )\mathbf {B} \,\!}$。

兩者之間的差別為

${\displaystyle \mathbf {F} _{l}=\mathbf {F} _{d}+{\boldsymbol {\mu }}\times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\,\!}$。

假設，電流等於零，電場不含時間，則根據麥克斯韋-安培方程式，

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =0\,\!}$，

兩種模型計算出來的磁場力相等。可是，假設電流不等於零，或電場為含時電場，則兩種模型計算出來的磁場力不相等。1951年，兩個不同的實驗，研究中子的散射於鐵磁性物質，分別得到的結果與電流模型預估的結果相符合^[6]。

範例

圓形載流迴圈的磁偶極矩

一個載流迴圈的磁偶極矩與其面積和所載電流有關。例如，載有1安培電流，半徑${\displaystyle r'\,\!}$為0.05公尺的單匝圓形載流迴圈，其磁偶極矩為：

${\displaystyle \mu =\pi r'\,^{2}I=\pi \times 0.05^{2}\times 1\approx 0.008\;[\mathrm {A} \cdot \mathrm {m} ^{2}]=0.008\;[\mathrm {J/T} ]\,\!}$。

磁偶極矩垂直於載流迴圈的平面。載流迴圈的磁矩，可以用來建立以下幾點論據：

• 假設場位置的距離${\displaystyle r\,\!}$超遠於迴圈半徑${\displaystyle r'=0.05\ \mathrm {m} \,\!}$，則磁場會呈反立方減弱：

沿着迴圈的中心軸，磁矩與場位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$平行：

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}2\mu ={\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 2\times 0.008\approx {\frac {1.6\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}$。

在包含迴圈的平面的任意位置，磁矩垂直於場位置：

${\displaystyle B=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\mu =-\ {\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 0.008\approx -\ {\frac {0.8\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}$。

負號表示平面任意位置案例與中心軸案例，這兩個案例的磁場呈相反方向。

• 假設在地球的某地方，地磁場${\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}$的數值大約為0.5 高斯（5×10⁻⁵ 忒斯拉），而且迴圈磁矩垂直於地磁場${\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}$，則此迴圈所感受到的力矩為

${\displaystyle \tau \approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} ]\,\!}$。

• 應用力矩的觀念，可以製造出羅盤。假設這羅盤的磁針，由於力矩的作用，從磁針的磁矩垂直於地磁場${\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}$，旋轉至磁針的磁矩與地磁場${\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}$呈相同方向，則這羅盤-地球系統釋放出的能量${\displaystyle U\,\!}$為

${\displaystyle U\approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {J} ]\,\!}$ 。

由於羅盤懸浮系統的摩擦機制，這能量是以熱量的形式耗散淨盡。

螺線管的磁矩

螺線管三維電腦繪圖。

一個多匝線圈（或螺線管）的磁矩是其每個單匝線圈的磁矩的向量和。對於全同匝（單層捲繞），只需將單匝線圈的磁矩乘以匝數，就可得到總磁矩。然後，這總磁矩可以用來計算磁場，力矩，和儲存能量，方法與使用單匝線圈計算的方法相同。

假設螺線管的匝數為${\displaystyle N\,\!}$，每一匝線圈面積為${\displaystyle a\,\!}$，通過電流為${\displaystyle I\,\!}$，則其磁矩為

${\displaystyle \mu =NIa\,\!}$。

載電粒子圓周運動的磁矩

假設，一個點電荷${\displaystyle q\,\!}$以等速${\displaystyle v\,\!}$繞着z-軸，移動於半徑為${\displaystyle r\,\!}$的平面圓形路徑，則其電流為^[7]

${\displaystyle I={\frac {qv}{2\pi r}}\,\!}$。

其磁矩為

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {qv}{2\pi r}}\pi r^{2}={\frac {qvr}{2}}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$。

其角動量${\displaystyle \mathbf {J} \,\!}$為

${\displaystyle \mathbf {J} =mvr{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$。

其中，${\displaystyle m\,\!}$是載電粒子的質量。

所以，磁矩與角動量的經典關係為

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {q}{2m}}\mathbf {J} \,\!}$。

對於電子，這經典關係為

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e}{2m_{e}}}\mathbf {J} \,\!}$；

其中，${\displaystyle m_{e}\,\!}$是電子的質量，${\displaystyle e\,\!}$是電子的絕對電量。

假設，這點電荷是個束縛於氫原子內部的電子。由於離心力等於庫侖吸引力，

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}=m_{e}{\frac {v^{2}}{r}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$是電常數。

現在施加外磁場${\displaystyle \mathbf {B} =B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$於此氫原子，則會有額外的勞侖茲力作用於電子。假設軌道半徑不變（這只是一個粗略計算），只有電子的速度改變為${\displaystyle v_{B}\,\!}$，則

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}+ev_{B}B=m_{e}{\frac {v_{B}^{2}}{r}}\,\!}$。

所以，

${\displaystyle v_{B}^{2}-v^{2}=(v_{B}+v)(v_{B}-v)={\frac {ev_{B}Br}{m_{e}}}\,\!}$。

假設，兩個速度的差別${\displaystyle \Delta v=v_{B}-v\,\!}$超小，則

${\displaystyle \Delta v\approx {\frac {eBr}{2m_{e}}}\,\!}$。

所以，由於施加外磁場${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$，磁矩的變化為

${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-{\frac {e\Delta vr}{2}}{\hat {\mathbf {z} }}=-{\frac {e^{2}r^{2}}{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$。

注意到${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}\,\!}$與${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$呈相反方向，因而減弱了磁場。這是抗磁性的經典解釋。可是，抗磁性是一種量子現像，經典解釋並不正確。

為了簡略計算，使用半經典方法^[8]，可以求出磁矩的變化為

${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e^{2}\langle r^{2}\rangle }{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \langle r^{2}\rangle \,\!}$是半徑平方的期望值。

電子的磁矩

電子和許多其它種類的粒子都具有內稟磁矩。這是一種量子屬性，涉及到量子力學。詳盡細節，請參閱條目電子磁偶極矩（electron magnetic dipole moment）。微觀的內稟磁矩集聚起來，形成了巨觀的磁效應和其它物理現象，例如電子自旋共振。

電子的磁矩是

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{e}\mu _{B}\mathbf {S} /\hbar \,\!}$；

其中，${\displaystyle g_{e}\,\!}$是電子的朗德g因子，${\displaystyle \mu _{B}=e\hbar /2m_{e}\,\!}$是玻爾磁子，${\displaystyle \mathbf {S} \,\!}$是電子的自旋角動量。

按照前面計算的經典結果，${\displaystyle g_{e}=1\,\!}$；但是，在狄拉克力學裏，${\displaystyle g_{e}=2\,\!}$；更準確地，由於量子電動力學效應，它的實際値稍微大些，${\displaystyle g_{S}=2.002\,319\,304\,36\,\!}$。

請注意，由於這方程式內的負號，電子磁矩與自旋呈相反方向。對於這物理行為，經典電磁學的解釋為：假想自旋角動量是由電子繞着某旋轉軸而產生的。因為電子帶有負電荷，這旋轉所產生的電流的方向是相反的方向，這種載流迴路產生的磁矩與自旋呈相反方向。同樣的推理，帶有正電荷的正子（電子的反粒子），其磁矩與自旋呈相同方向。

原子的磁矩

在原子內部，可能會有很多個電子。多電子原子的總角動量計算，必須先將每一個電子的自旋總和，得到總自旋，再將每一個電子的軌角動量總和，得到總軌角動量，最後用角動量耦合（angular momentum coupling）方法將總自旋和總軌角動量總和，即可得到原子的總角動量。原子的磁矩${\displaystyle \mu \,\!}$與總角動量${\displaystyle \mathbf {J} \,\!}$的關係為^[9]

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{J}\mu _{B}\mathbf {J} /\hbar \,\!}$；

其中，${\displaystyle g_{J}\,\!}$是原子獨特的朗德g因子。

磁矩對於磁場方向的分量${\displaystyle \mu _{z}\,\!}$是

${\displaystyle \mu _{z}=-g_{J}\mu _{B}J_{z}/\hbar \,\!}$；

其中，${\displaystyle J_{z}=J_{m}\hbar \,\!}$是總角動量對於磁場方向的分量，${\displaystyle J_{m}\,\!}$是磁量子數，可以取2J+1個整數値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一個整數值。

因為電子帶有負電荷，所以${\displaystyle \mu _{z}\,\!}$是負值。

處於磁場的磁偶極子的動力學，不同於處於電場的電偶極子的動力學。磁場會施加力矩於磁偶極子，迫使它依著磁場線排列。但是，力矩是角動量對於時間的導數。所以，會產生自旋進動，也就是說，自旋方向會改變。這物理行為以方程式表達為

${\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {H} \,\!}$；

其中，${\displaystyle \gamma \,\!}$是迴轉磁比率（gyromagnetic ratio） ，${\displaystyle \mathbf {H} \,\!}$是磁場。

注意到這方程式的左手邊項目是角動量對於時間的導數，而右手邊項目是力矩。磁場又可分為兩部分：

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {H} _{eff}\,\!}$是有效磁場（外磁場加上任何自身場），${\displaystyle \lambda \,\!}$是阻尼系數。

這樣，可以得到蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式（Landau–Lifshitz–Gilbert equation）^[10]：

${\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\boldsymbol {\mu }}\times {\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!}$。

方程式右邊第一個項目描述磁偶極子繞着有效磁場的進動，第二個項目是阻尼項目，會使得進動漸漸減弱，最後消失。蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式是研究磁化動力學最基本的方程式之一。

原子核的磁矩

參見：核磁矩

核子系統是一種由核子（質子和中子）組成的精密物理系統。自旋是核子的量子性質之一。由於原子核的磁矩與其核子成員有關，從核磁矩的測量數據，更明確地，從核磁偶極矩的測量數據，可以研究這些量子性質。

雖然有些同位素原子核的激發態的衰變期超長，大多數常見的原子核的自然存在狀態是基態。每一個同位素原子核的能態都有一個獨特的、明顯的核磁偶極矩，其大小是一個常數，通過細心設計的實驗，可以測量至非常高的精確度。這數值對於原子核內每一個核子的獨自貢獻非常敏感。若能夠測量或預測出這數值，就可以揭示核子波函數的內涵。現今，有很多理論模型能夠預測核磁偶極矩的數值，也有很多種實驗技術能夠進行原子核測試。

分子的磁矩

任何分子都具有明確的磁矩。這磁矩可能會跟分子的能態有關。通常而言，一個分子的磁矩是下列貢獻的總和，按照典型強度從大至小列出：

• 假若有未配對電子，則是其自旋所產生的磁矩（順磁性貢獻）
• 電子的軌域運動，處於基態時，所產生常與外磁場成正比的磁矩（抗磁性貢獻）
• 依照核自旋組態，核自旋所產生的總磁矩。

分子磁性範例

• 氧分子，O₂，由於其最外面的兩個未配對電子的自旋，具有強順磁性。
• 二氧化碳分子，CO₂，由於電子軌域運動而產生的，與外磁場成正比的，很微弱的磁矩。在某些稀有狀況下，假若這分子是由具磁性的同位素組成，像¹³C或¹⁷O，則此同位素原子核也會將其核磁性貢獻給分子的磁矩。
• 氫分子，H₂，處於一個弱磁場（或零磁場），會顯示出核磁性。氫分子的兩種自旋異構體，正氫或仲氫，都具有這種物理性質。

參閱

• 電偶極矩
• 磁化強度
• 磁化率
• 球多極矩
• 絕熱不變數
• 磁偶極間相互作用（Magnetic dipole-dipole interaction）

參考文獻

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