梅森質數與完全數集合

梅森質數與完全數是數論里關係密切的自然數。梅森質數以數學家、神學家、修士馬蘭·梅森命名，是能以2^甲－1表示、且甲為正整數的質數，如梅森質數3就能寫成2²－1^[1][2]。梅森質數在上述表達式對應的數甲一定是質數，但甲是質數不代表得出的結果就是梅森質數，如2¹¹－1＝2047＝23×89^[3]。完全數是等於真因數之和的自然數，真因數即自然數除自身外的因數。如6就是完全數，因數分別是1、2、3、6且1＋2＋3＝6。^[2][4]

6是完全數

20世紀下半葉起已知最大質數位數對數圖，這些已知最大質數大多是梅森質數

根據歐幾里得部分證明、萊昂哈德·歐拉完全證明的歐幾里得－歐拉定理可知梅森質數與已知完全數一一對應：只有能換算成公式2^甲－1×（2^甲－1），且2^甲 − 1是梅森質數的偶數是完全數。以甲＝2為例，2²－1＝3為質數，2^2－1×（2²－1）＝2×3＝6為完全數。^[1][5][6]

梅森質數與完全數是否無窮盡目前還是未解決的數學問題^[2][6]，倫斯特拉－波默朗斯－瓦格斯塔夫猜想的主題便是梅森質數頻率，推斷比x小的梅森質數期望值個數為（e^γ/log2）×log log x，其中e是歐拉數，γ是歐拉常數，log是自然對數^[7][8][9]。已經發現的完全數都是偶數，但尚未排除存在奇數完全數的可能。已證明奇完全數必滿足某些條件，如不小於10^1500[10]。

下表列出所有已知梅森質數、完全數及對應指數甲。截至2021年10月共發現51個梅森質數（及對應完全數），最大17個均由互聯網梅森質數大搜索分佈式計算項目發現。^[2]新梅森質數是用盧卡斯－萊默檢驗法發現，這種梅森質數質數測試可用於二進制計算機^[2]。

數字按從小到大排列，如果新發現比現有結果小的梅森質數則插入中間。序號後面的問號說明尚待驗證。截至2021年10月，互聯網梅森質數大搜索已經計算至甲＝5820萬4879，即第48個梅森質數以前的所有自然數均已驗證。^[11]發現時間和發現人均指梅森質數，完全數按歐幾里得－歐拉定理計算。發現人列為「互聯網梅森質數大搜索：姓名」說明此人擁有的設備採用互聯網梅森質數大搜索找到該數。除前八個不超過十位外，後面的結果都非常長，最長的已有數千萬位；下表僅列出前後各六位，中間以省略號表示。

梅森質數與完全數集合

  GIMPS發現的梅森質數

  最小未驗證梅森質數

  梅森猜測的梅森質數

  古代知道的梅森質數

  拉爾夫·歐內斯特·鮑爾斯發現的梅森質數

  唐納德·吉利斯發現的梅森質數

  大衛·斯洛文斯基發現的梅森質數

下表列出了所有已知的梅森質數： A000668

下表列出了所有已知的梅森質數指數： A000043

序	甲	梅森質數	梅森質數位數	對應完全數	完全數位數	發現時間	發現人	發現方法	參考[12]
1	2	3	1	6	1	000000000100-01-01-0000古代[注 1]	古希臘數學家已經知曉	人手計算	[13][14][15]
2	3	7	1	28	2				[13][14][15]
3	5	31	2	496	3				[13][14][15]
4	7	127	3	8128	4				[13][14][15]
5	13	8191	4	33550336	8	000000001456-01-01-0000約1456年[注 2]	不明[注 3]	試除法	[14][15]
6	17	131071	6	8589869056	10	000000001588-01-01-00001588年[注 2]	皮特羅·卡塔爾迪		[2][18]
7	19	524287	6	137438691328	12				[2][18]
8	31	21億4748萬3647	10	230584……952128	19	000000001772-01-01-00001772年	萊昂哈德·歐拉		[19]
9	61	230京5843兆0092億1369萬3951	19	265845……842176	37	1883年11月	伊萬·波佛辛	盧卡斯數列	[20]
10	89	618970……562111	27	191561……169216	54	1911年6月	拉爾夫·歐內斯特·鮑爾斯	盧卡斯數列	[21]
11	107	162259……288127	33	131640……728128	65	1914年6月			[22]
12	127	170141183460469231731687303715884105727	39	144740……152128	77	1876年1月	愛德華·盧卡斯	盧卡斯數列	[23]
13	521	686479……057151	157	235627……646976	314	1952年1月	拉斐爾·米切爾·羅賓遜	計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法	[24]
14	607	531137……728127	183	141053……328128	366				[24]
15	1279	104079……729087	386	541625……291328	770	1952年6月			[25]
16	2203	147597……771007	664	108925……782528	1327	1952年10月			[26]
17	2281	446087……836351	687	994970……915776	1373				[26]
18	3217	259117……315071	969	335708……525056	1937	1957年9月	漢斯·黎瑟爾		[27]
19	4253	190797……484991	1281	182017……377536	2561	1961年11月	亞歷山大·赫維茨		[28]
20	4423	285542……580607	1332	407672……534528	2663				[28]
21	9689	478220……754111	2917	114347……577216	5834	1963年5月	唐納德·吉利斯	計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法	[29]
22	9941	346088……463551	2993	598885……496576	5985				[29]
23	11213	281411……392191	3376	395961……086336	6751	1963年6月			[29]
24	19937	431542……041471	6002	931144……942656	12003	1971年3月	計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法	布萊恩特·塔克曼	[30]
25	21701	448679……882751	6533	100656……605376	13066	1978年10月		藍登·克特·諾爾、勞拉·尼克爾	[31]
26	23209	402874……264511	6987	811537……666816	13973	1979年2月		藍登·克特·諾爾	[31]
27	44497	854509……228671	13395	365093……827456	26790	1979年4月	計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法	哈里·尼爾森、大衛·斯洛文斯基	[32][33]
28	86243	536927……438207	25962	144145……406528	51924	1982年9月		大衛·斯洛文斯基	[34]
29	11萬0503	521928……515007	33265	136204……862528	66530	1988年1月	計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法	沃爾特·科爾奎特、盧克·韋爾什	[35][36]
30	13萬2049	512740……061311	39751	131451……550016	79502	1983年9月	計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法	大衛·斯洛文斯基等人（克雷公司）	[37]
31	21萬6091	746093……528447	65050	278327……880128	13萬0100	1985年9月			[38][39]
32	75萬6839	174135……677887	22萬7832	151616……731328	45萬5663	1992年2月			[40]
33	85萬9433	129498……142591	25萬8716	838488……167936	51萬7430	1994年1月			[41]
34	125萬7787	412245……366527	37萬8632	849732……704128	75萬7263	1996年9月			[42][43]
35	139萬8269	814717……315711	42萬0921	331882……375616	84萬1842	1996年11月	計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法	互聯網梅森質數大搜索：喬爾·阿蒙古德	[44]
36	297萬6221	623340……201151	89萬5932	194276……462976	179萬1864	1997年8月		互聯網梅森質數大搜索：戈登·斯彭斯	[45]
37	302萬1377	127411……694271	90萬9526	811686……457856	181萬9050	1998年1月		互聯網梅森質數大搜索：羅蘭·克拉克森	[46]
38	697萬2593	437075……193791	209萬8960	955176……572736	419萬7919	1999年6月		互聯網梅森質數大搜索：納揚·哈吉拉特瓦拉	[47]
39	1346萬6917	924947……259071	405萬3946	427764……021056	810萬7892	2001年11月		互聯網梅森質數大搜索：米高·卡梅隆	[48]
40	2099萬6011	125976……682047	632萬0430	793508……896128	1264萬0858	2003年11月		互聯網梅森質數大搜索：米高·謝弗	[49]
41	2403萬6583	299410……969407	723萬5733	448233……950528	1447萬1465	2004年5月		互聯網梅森質數大搜索：喬希·芬德利	[50]
42	2596萬4951	122164……077247	781萬6230	746209……088128	1563萬2458	2005年2月		互聯網梅森質數大搜索：馬丁·諾瓦克	[51]
43	3040萬2457	315416……943871	915萬2052	497437……704256	1830萬4103	2005年12月		互聯網梅森質數大搜索：柯蒂斯·庫珀、史蒂文·布恩	[52]
44	3258萬2657	124575……967871	980萬8358	775946……120256	1961萬6714	2006年9月			[53]
45	3715萬6667	202254……220927	1118萬5272	204534……480128	2237萬0543	2008年9月		互聯網梅森質數大搜索：漢斯－米高·埃爾維尼奇	[54]
46	4264萬3801	169873……314751	1283萬7064	144285……253376	2567萬4127	2009年6月		互聯網梅森質數大搜索：奧德·麥格納·斯特林莫	[55]
47	43112609	316470……152511	1297萬8189	500767……378816	2595萬6377	2008年8月		互聯網梅森質數大搜索：埃德森·史密斯	[54][56]
48	5788萬5161	581887……285951	1742萬5170	169296……130176	3485萬0340	2013年1月		互聯網梅森質數大搜索：柯蒂斯·庫珀	[57][58]
不適用	6868萬9253	最低未驗證里程碑（截至西元2024年6月23日）[注 4]
49？	7420萬7281	300376……436351	2233萬8618	451129……315776	4467萬7235	2016年1月	互聯網梅森質數大搜索：柯蒂斯·庫珀	計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法	[59][60]
50？	7723萬2917	467333……179071	2324萬9425	109200……301056	4649萬8850	2017年12月	互聯網梅森質數大搜索：喬納森·佩斯		[61][62]
51？	8258萬9933	148894……902591	2486萬2048	110847……207936	4972萬4095	000000002018-12-01-00002018年12月	互聯網梅森質數大搜索：帕特里克·拉羅什		[63][64]
不適用	1億1748萬5899	最低未測試里程碑（截至西元2024年6月23日）[注 4]

註釋

1. 尼科馬庫斯100年左右記下前四個完全數，歐幾里得的《幾何原本》便有完全數、梅森質數的定義和實例，但具體發現年代已不可考。
2. 伊斯蘭數學家伊斯梅爾·伊本·易卜拉欣·伊本·費盧斯等人可能比歐洲人更早發現第五到第七個完全數^[16]。
3. 手稿註明年份1456至1461但沒有署名，現存巴伐利亞國立圖書館，編碼「Clm 14908」^[14][17]。
4. 截至2021年10月^[11]。

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外部連結

• 整數數列線上大全：完全數 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 整數數列線上大全：梅森質數 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 整數數列線上大全：對應指數 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 互聯網梅森質數大搜索：梅森質數集合，列出完整數字 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 梅森質數史技術報告，蓋伊·霍沃斯著 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）