未解決的數學問題

以下列出了一些目前在數學領域中的未解決的問題：

千禧年大獎難題

在克雷數學研究所懸賞設立的七個千禧年大獎難題中，仍未被解決的六個題目是：

• 複雜度類P對NP問題（理論信息學：計算複雜度）
• 霍奇猜想（代數幾何）
• 黎曼猜想（质数）
• 楊-米爾斯存在性與質量間隙（量子場論）
• 納維-斯托克斯存在性與光滑性（計算流體力學）
• 貝赫和斯維訥通-戴爾猜想（代數）

其它未解問題

參見：數學猜想列表

堆壘數論

• 哥德巴赫猜想
• 華林問題中的${\displaystyle g(k)}$和${\displaystyle G(k)}$的值
• 考拉茲猜想（${\displaystyle 3n+1}$ 猜想、角谷猜想）
• 吉爾布雷斯猜想

數論：质数

• 是否存在無窮多個孿生质数
• 是否存在無窮多個四胞胎质数
• 是否存在無窮多個三胞胎质数
• 是否存在無窮多個x²+1质数
• 是否存在無窮多個表兄弟质数
• 是否存在無窮多個六质数
• 是否存在無窮多個梅森质数（OEIS中的數列OEIS:A000668，Lenstra-Pomerance-Wagstaff猜想）；此問題的等價問題是，是否存在無窮多個偶完全數
• 是否存在無窮多個規則质数，且其分佈密度是${\displaystyle e^{-^{1}\!/_{2}}}$
• 是否存在無窮多個卡倫质数（OEIS中的數列OEIS:A005849）
• 是否存在無窮多個胡道爾素數（OEIS中的數列OEIS:A050918）
• 以10為基數時是否存在無窮多個回文质数（OEIS中的數列OEIS:A002385）
• 當${\displaystyle n>4}$時，是否每個費馬數（OEIS中的數列OEIS:A000215）都是合數？
• 78,557是否是最小的謝爾賓斯基數（OEIS中的數列OEIS:A076336）？
• 509,203是否是最小的黎瑟爾數（OEIS中的數列OEIS:A101036）？
• 是否存在無窮多個歐幾里得數為质数
• 波林那克猜想（英語：Polignac's conjecture）

普通數論

• abc猜想
• 是否存在奇完全數（OEIS中的數列OEIS:A000396）？
• 是否存在擬完全數（quasi-perfect number）？
• 是否存在奇的奇異數（weird number）？
• 證明196是利克瑞爾數
• 證明10是個孤獨數（solitary number）（OEIS中的數列OEIS:A095739）
• 對任意給定的${\displaystyle n}$，幸福結局問題的解法
• 連續統假設
• 是否存在完美長方體

拉姆齊理論

• 拉姆齊數的值，特別是${\displaystyle R(5,5)}$
• 范·德·華登數（英語：Van der Waerden number）的值

普通代數

• 希爾伯特第16問題
• 阿達馬猜想
• 是否存在完美長方體

組合數學

• 幻方（OEIS數列A006052）的數目
• 通過隨機選擇的兩個元素產生對稱群${\displaystyle S_{n}}$的概率的公式
• 埃爾德什等差數列猜想
• 對於長度為任意自然數n的字串，其最小超排列的長度。

圖論

• 艾狄胥-賈法斯猜想（英語：Erdős–Gyárfás conjecture）
• 圖的同構問題（英語：Graph isomorphism problem）
• 關於單位距離的圖的色數的Hadwiger-Nelson問題
• 為逾滲閾值（英語：percolation threshold）得到一種閉式表達式，特別是${\displaystyle p_{c}}$（二維方格模型）

分析

• 高斯圓問題
• 沙努爾猜想（英語：Schanuel's conjecture）
• 雷默猜想（英語：Lehmer's conjecture）
• Pompeiu問題（英語：Pompeiu problem）
• ${\displaystyle \pi \pm e\,}$、${\displaystyle \pi ^{e}\,}$、${\displaystyle \ln(\pi )}$、${\displaystyle 2^{e}\,}$、歐拉-馬歇羅尼常數${\displaystyle \gamma \ }$、卡塔蘭常數${\displaystyle G}$等是否為無理數，或者甚至是超越數。

群論

• 每個被有限表達的周期群（英語：Torsion group）是否都是有限的？
• 逆伽羅瓦問題（英語：Inverse Galois problem）

其它

• 普遍化的星號嵌套深度問題（英語：Generalized star height problem）
• 不變子空間問題
• 黑洞歸併的建模

近期已獲解的問題

年度	問題	解決者	備註
1977年	四色定理	肯尼斯·阿佩爾 沃爾夫岡·哈肯	第一個主要由電腦驗證成立的數學定理 法蘭西斯·古德里在1852年提出此猜想
1985年	比貝爾巴赫猜想（英語：de Branges's theorem）	Louis de Branges de Bourcia	比貝爾巴赫於1916年提出此猜想
1995年	費馬最後定理	安德魯·懷爾斯	費馬於1637年提出此猜想
1996年	波戈莫洛夫猜想（英語：Bogomolov conjecture）	Emmanuel Ullmo 張壽武
1996年	遠阿貝爾幾何中的格羅滕迪克猜想	望月新一
1998年	開普勒猜想	托馬斯·黑爾斯	約翰內斯·開普勒在1611年提出此猜想
1999年	函數域的朗蘭茲綱領	洛朗·拉福格
1999年	蜂窩猜想	托馬斯·黑爾斯	馬庫斯·特倫提烏斯·瓦羅於西元前36年首次提出此猜想
2001年	谷山－志村定理	安德魯·懷爾斯 克里斯多福·布勒伊 布萊恩·康萊德 佛瑞德·戴蒙德 理查·泰勒	谷山豐與志村五郎於1955年提出此猜想
2001年	加藤猜想（英語：Kato's conjecture）	Pascal Auscher Steve Hofmann Michael Lacey Alan McIntosh Philippe Tchamitchian	加藤敏夫在1953年提出此猜想
2002年	卡塔蘭猜想	普雷達·米哈伊列斯庫（英語：Preda Mihăilescu）	歐仁·查理·卡塔蘭在1844年提出此猜想
2002年	龐加萊猜想	格里戈里·佩雷爾曼	千禧年大獎難題 龐加萊於1904年提出此猜想
2003年	米爾諾猜想（英語：Milnor conjecture）	符拉基米爾·弗沃特斯基	約翰·米爾諾於1970年提出此猜想
2003年	永田猜想（英語：Nagata's conjecture）	Ualbai U. Umirbaev Ivan P. Shestakov	永田雅宜於1972年提出此猜想
2004年	史坦利-威夫猜想（英語：Stanley–Wilf conjecture）	Gabor Tardos Adam Marcus
2004年	格林-陶定理	本·格林 陶哲軒
2006年	天使問題	布萊恩·鮑迪奇 Oddvar Kloster András Máthé Péter Gács
2007年	道路着色問題	艾夫拉漢·特雷特曼（Avraham Trahtman）
2009年	阿蒂亞猜想	Tim Austin
2011年	漢娜·諾伊曼猜想	伊戈爾·米涅耶夫（Igor Mineyev） 喬爾·弗里德曼（Joel Friedman）	漢娜·諾伊曼於1957年提出此猜想
2012年	威爾莫猜想	費爾南多·科達·馬克斯 安德烈·內維斯
2012年	Virtual哈肯猜想	伊安·阿戈爾 Daniel Groves Jason Manning
2013年	弱哥德巴赫猜想	哈洛德·賀歐夫各特 大衛·普拉特
2015年	埃爾德什差異問題	陶哲軒	保羅·埃爾德什在1932年提出此猜想
2017年	五邊形鑲嵌	Michaël Rao

參考文獻

• 克雷研究院千禧年大獎
• MathWorld的待解問題頁面 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Winkelmann, Jörg，「一些數學問題 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）」2006年3月9日
• 到未解的數學問題的連結列表、獎金和研究

討論待解題目的書籍

• Fan Chung; Ron Graham. Erdos对图论的贡献：其未解问题的遗产. AK Peters. 1999. ISBN 978-1-56881-111-6.
• Hallard T. Croft; Kenneth J. Falconer; Richard K. Guy. 几何学中的未解问题. Springer. 1994. ISBN 978-0-387-97506-1.
• Richard K. Guy. 数论中的未解问题. Springer. 2004. ISBN 978-0-387-20860-2.
• Victor Klee; Stan Wagon. 平面几何和数论领域旧的和新的未解问题. 美國數學協會. 1996. ISBN 978-0-88385-315-3.

討論近期獲解題目的書籍

• Simon Singh. 费马最后定理. Fourth Estate. 2002. ISBN 978-1-84115-791-7.

參見

• 希爾伯特的23個問題
• 數學編年史
• 分類:數學中未解決的問題