希爾伯特的23個問題

希爾伯特問題（德語：Hilbertsche Probleme）是德國數學家大衛·希爾伯特於1900年在巴黎舉行的第二屆國際數學家大會上作了題為《數學問題》的演講，所提出23道最重要的數學問題。希爾伯特問題對推動20世紀數學的發展起了積極的推動作用。在許多數學家努力下，希爾伯特問題中的大多數在20世紀中得到了解決。

希爾伯特問題中未能包括拓撲學、微分幾何等領域，除數學物理外很少涉及應用數學，更不曾預料到電腦的發展將對數學產生重大影響。20世紀數學的發展實際上遠遠超出了希爾伯特所預示的範圍。

希爾伯特問題中的1-6是數學基礎問題，7-12是數論問題，13-18屬於代數和幾何問題，19-23屬於數學分析。

問題解決進度

以下列出希爾伯特的23個問題，各問題的解答狀況可參見各問題條目。

#	主旨	進展	說明
第1題	連續統假設	部分解決	1963年美國數學家保羅·柯恩以力迫法證明連續統假設不能由策梅洛-弗蘭克爾集合論（無論是否含選擇公理）推導。也就是說，連續統假設成立與否無法由ZF/ZFC確定。
第2題	算術公理之相容性	部分解決	庫爾特·哥德爾在1931年證明了哥德爾不完備定理，根岑在1936年證明了一階算術系統（即皮亞諾算術系統）是自洽的。但這些定理是否已回答了希爾伯特的原始問題，數學界沒有共識。
第3題	兩四面體有相同體積之證明法	已解決	答案：否。1900年，希爾伯特的學生馬克斯·登（英語：Max Dehn）以一反例證明了是不可以的。
第4題	建立所有度量空間使得所有線段為測地線	部分解決	此問題被英國數學史學家傑雷米·格雷（Jeremy Gray）認為過於隱晦。最早的公認解法由蘇聯數學家阿列克謝·波戈雷洛夫（Алексей Васильевич Погорелов）提出。
第5題	所有連續群是否皆為可微群	部分解決	1953年日本數學家山邊英彥證明在無「小的子群」情況下，答案是肯定的[1]；但此定理是否已回答了希爾伯特的原始問題，數學界仍有爭論（因為希爾伯特那個年代沒有「流形」的概念）。
第6題	公理化物理	部分解決	希爾伯特後來對這個問題進一步解釋，而他自己也進一步研究這個問題。科摩哥洛夫對此也有貢獻。然而，儘管公理化已經開始滲透到物理當中，量子力學中仍有至今不能邏輯自洽的部分（如量子場論），故該問題未完全解決。但也有爭論認為，希爾伯特所說的「物理」一詞並不包含在當時尚未發現的量子力學等理論。
第7題	若b是無理數、a是除0、1之外的代數數，那麼ab是否超越數	已解決	答案：是。分別於1934年、1935年由蘇聯數學家亞歷山大·格爾豐德與德國數學家特奧多爾·施耐德獨立地解決。
第8題	黎曼猜想及哥德巴赫猜想和孿生質數猜想	未解決	雖然分別有比較重要的突破和被解決的弱化情況，三個問題均仍未被解決。
第9題	任意代數數體的一般互反律	部分解決	1927年德國的埃米爾·阿廷證明在阿貝爾擴張的情況下答案是肯定的；此外的情況則尚未證明。
第10題	不定方程式可解性	已解決	答案：否。1970年由蘇聯數學家尤里·馬季亞謝維奇證明。
第11題	代數系數之二次形式	部分解決	有理數的部分由哈塞於1923年解決。
第12題	一般代數數體的阿貝爾擴張	部分解決	埃里希·赫克於1912年用希爾伯特模形式研究了實二次體的情形。虛二次體的情形用複乘理論（英語：Complex multiplication）已基本解決。一般情況下則尚未解決。
第13題	以二元函數解任意七次方程式	未解決	1957年蘇聯數學家科摩哥洛夫和弗拉基米爾·阿諾爾德證明對於單值解析函數，答案是否定的；然而希爾伯特原本可能希望證明的是代數函數的情形，因此該問題未獲得完全解答。
第14題	證明一些函數完全系統（Complete system of functions）之有限性	已解決	答案：否。1959年日本人永田雅宜提出反例。
第15題	舒伯特演算（英語：Schubert calculus）之嚴格基礎	部分解決	一部分在1938年由范德瓦爾登（英語：Bartel Leendert van der Waerden）得到嚴謹的證明。段海豹和趙學志宣稱該問題實際已解決[2]。
第16題	代數曲線及表面之拓撲結構	未解決	此問題進展緩慢，即使對於度為8的代數曲線也沒有證明。
第17題	把有理函數寫成平方和分式	已解決	答案：是。1927年埃米爾·阿廷解決此問題，並提出實封閉體。[3][4]
第18題	非正多面體能否密鋪空間、球體最緊密的排列	已解決	1911年比伯巴赫（英語：Ludwig Bieberbach）做出「n維歐氏幾何空間只允許有限多種兩兩不等價的空間群」；萊因哈特（英語：Karl Reinhardt (mathematician)）證明不規則多面體亦可填滿空間；托馬斯·黑爾斯於1998年提出了初步證明，並於2014年8月10日用計算機完成了開普勒猜想的形式化證明，證明球體最緊密的排列是面心立方和六方最密兩種方式。
第19題	拉格朗日系統（Lagrangian）之解是否皆可解析	已解決	答案：是。1956年至1958年恩尼奧·德喬吉（英語：Ennio de Giorgi）和約翰·福布斯·納什分別用不同方法證明。
第20題	所有邊值問題是否都有解	已解決	實際上工程和科研中遇到的邊值問題都是適定的，因而都可以確定是否有解。[5]
第21題	證明有線性微分方程式有給定的單值群（monodromy group）	已解決	此問題的答案取決於問題的表述：部分情況下是肯定的，部分情況下則是否定的。
第22題	將解析關係（analytic relations）以自守函數（英語：Automorphic function）一致化	部分解決	1904年由保羅·克伯（英語：Paul Koebe）和龐加萊取得部分解決。詳見單值化定理。
第23題	變分法的長遠發展	開放性問題	包括希爾伯特本人、昂利·勒貝格、雅克·阿達馬等數學家皆投身於此。理查德·貝爾曼提出的動態規劃可作為變分法的替代。

參閱

• 大衛·希爾伯特
• 國際數學家大會
• 千禧年大獎難題
• 斯梅爾問題

文獻

• Gray, Jeremy J. The Hilbert Challenge. Oxford University Press. 2000. ISBN 0-19-850651-1.
• Yandell, Benjamin H. The Honors Class. Hilbert's Problems and Their Solvers. A K Peters. 2002. ISBN 1-56881-141-1.
• Thiele, Rüdiger. On Hilbert and his twenty-four problems. Van Brummelen, Glen (編). Mathematics and the historian’s craft. The Kenneth O. May Lectures. CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC 21. 2005: 243–295. ISBN 0-387-25284-3.
• Dawson, John W. Jr. Logical Dilemmas, The Life and Work of Kurt Gödel. AK Peters, Wellesley, Mass. 1997: A wealth of information relevant to Hilbert's "program" and Gödel's impact on the Second Question, the impact of Arend Heyting's and Brouwer's Intuitionism on Hilbert's philosophy.
• Felix E. Browder (editor), Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII (1976), American Mathematical Society. A collection of survey essays by experts devoted to each of the 23 problems emphasizing current developments.
• Matiyasevich, Yuri. Hilbert's Tenth Problem. MIT Press, Cambridge, Massachusetts. 1993: An account at the undergraduate level by the mathematician who completed the solution of the problem. ISBN 0262132958.
• Nagel, Ernest; Newman, James R. Douglas Hofstadter , 編. Gödel's Proof: Edited and with a New Foreword by Douglas R. Hofstadter. New York University Press, NY. 2001. ISBN 0-8147-5816-9.
• Reid, Constance. Hilbert. Springer-Verlag, New York. 1996. ISBN 978-0387946740.

Specific

1. Gotô, Morikuni; Yamabe, Hidehiko. On Continuous Isomorphisms of Topological Groups. Nagoya Mathematical Journal. 1950-06, 1: 109–111. ISSN 0027-7630. doi:10.1017/s0027763000022881.
2. Haibao, Duan; Xuezhi, Zhao. Make Schubert calculus rigorous. SCIENTIA SINICA Mathematica. 2022-07-11, 52 (8). ISSN 1674-7216. doi:10.1360/SSM-2020-0334 （美國英語）.
3. Artin, Emil. Über die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate. Emil Artin Collected Papers. New York, NY: Springer New York. 1965: 273–288. ISBN 9781461257189.
4. Artin, Emil; Schreier, Otto. Algebraische Konstruktion reeller Körper. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 1927-12, 5 (1): 85–99. ISSN 0025-5858. doi:10.1007/bf02952512.
5. Serrin, James. The solvability of boundary value problems (Hilbert’s problem 19). Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 1976: 507–524. ISSN 2324-707X. doi:10.1090/pspum/028.2/0427784.

外部連結

• 評《希爾伯特的23個數學難題》 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 希爾伯特23個問題及解決情況^{[永久失效連結]}
• 希爾伯特的23個問題 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 希爾伯特的23個問題（簡要）