空間群

在數學和物理學中，空間群（space group）是空間中（通常是三維空間）一種形態的空間對稱群。在三維空間中有219種不同的類型，或230種不同的手性類型。對超過三維的空間中的空間群也有研究，它們有時被稱作比貝爾巴赫（英語：Ludwig Bieberbach）群，並且是離散的緊群，具有歐氏空間的等距同構。它是由俄國結晶學家費多洛夫和德國結晶學家薛弗利斯（Artur Moritz Schoenflies，1853-1928）於1890至1891年間各自獨立地先後推導得出來的。

在晶體學中，空間群也被稱為費奧多羅夫（英語：Evgraf Fedorov）群，是對晶體對稱型的一種描述。三維空間群的權威參考文獻是《國際晶體學表》。空間群可以分為兩類：一類稱為簡單空間群或稱點空間群；一類稱為複雜空間群或稱非點空間群。其中73種為簡單空間群，餘下的157種為複雜空間群。

三維的空間群

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#	晶系（空間群數量）布拉維晶格	點群					空間群 (國際短符號)
#	晶系（空間群數量）布拉維晶格	國際標記法	熊夫利標記法（英語：Schoenflies notation）^[1]	軌形（英語：Orbifold）	考克斯特符號（英語：Coxeter notation）	點群階	空間群 (國際短符號)
1	三斜晶系 (2)	1	C₁	11	[ ]⁺	1	P1
2	三斜晶系 (2)	1	C_i	1×	[2⁺,2⁺]	2	P1
3–5	單斜晶系 (13)	2	C₂	22	[2]⁺	2	P2, P2₁ C2
6–9		m	C_s	*11	[ ]	2	Pm, Pc Cm, Cc
10–15		2/m	C_2h	2*	[2,2⁺]	4	P2/m, P2₁/m C2/m, P2/c, P2₁/c C2/c
16–24	正交晶系 (59)	222	D₂	222	[2,2]⁺	4	P222, P222₁, P2₁2₁2, P2₁2₁2₁, C222₁, C222, F222, I222, I2₁2₁2₁
25–46		mm2	C_2v	*22	[2]	4	Pmm2, Pmc2₁, Pcc2, Pma2, Pca2₁, Pnc2, Pmn2₁, Pba2, Pna2₁, Pnn2 Cmm2, Cmc2₁, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2 Fmm2, Fdd2 Imm2, Iba2, Ima2
47–74		mmm	D_2h	*222	[2,2]	8	Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce Fmmm, Fddd Immm, Ibam, Ibca, Imma
75–80	四方晶系 (68)	4	C₄	44	[4]⁺	4	P4, P4₁, P4₂, P4₃, I4, I4₁
81–82		4	S₄	2×	[2⁺,4⁺]	4	P4, I4
83–88		4/m	C_4h	4*	[2,4⁺]	8	P4/m, P4₂/m, P4/n, P4₂/n I4/m, I4₁/a
89–98		422	D₄	224	[2,4]⁺	8	P422, P42₁2, P4₁22, P4₁2₁2, P4₂22, P4₂2₁2, P4₃22, P4₃2₁2 I422, I4₁22
99–110		4mm	C_4v	*44	[4]	8	P4mm, P4bm, P4₂cm, P4₂nm, P4cc, P4nc, P4₂mc, P4₂bc I4mm, I4cm, I4₁md, I4₁cd
111–122		42m	D_2d	2*2	[2⁺,4]	8	P42m, P42c, P42₁m, P42₁c, P4m2, P4c2, P4b2, P4n2 I4m2, I4c2, I42m, I42d
123–142		4/mmm	D_4h	*224	[2,4]	16	P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P4₂/mmc, P4₂/mcm, P4₂/nbc, P4₂/nnm, P4₂/mbc, P4₂/mnm, P4₂/nmc, P4₂/ncm I4/mmm, I4/mcm, I4₁/amd, I4₁/acd
143–146	三方晶系 (25)	3	C₃	33	[3]⁺	3	P3, P3₁, P3₂ R3
147–148		3	S₆	3×	[2⁺,6⁺]	6	P3, R3
149–155		32	D₃	223	[2,3]⁺	6	P312, P321, P3₁12, P3₁21, P3₂12, P3₂21 R32
156–161		3m	C_3v	*33	[3]	6	P3m1, P31m, P3c1, P31c R3m, R3c
162–167		3m	D_3d	2*3	[2⁺,6]	12	P31m, P31c, P3m1, P3c1 R3m, R3c
168–173	六方晶系 (27)	6	C₆	66	[6]⁺	6	P6, P6₁, P6₅, P6₂, P6₄, P6₃
174		6	C_3h	3*	[2,3⁺]	6	P6
175–176		6/m	C_6h	6*	[2,6⁺]	12	P6/m, P6₃/m
177–182		622	D₆	226	[2,6]⁺	12	P622, P6₁22, P6₅22, P6₂22, P6₄22, P6₃22
183–186		6mm	C_6v	*66	[6]	12	P6mm, P6cc, P6₃cm, P6₃mc
187–190		6m2	D_3h	*223	[2,3]	12	P6m2, P6c2, P62m, P62c
191–194		6/mmm	D_6h	*226	[2,6]	24	P6/mmm, P6/mcc, P6₃/mcm, P6₃/mmc
195–199	立方晶系 (36)	23	T	332	[3,3]⁺	12	P23, F23, I23 P2₁3, I2₁3
200–206		m3	T_h	3*2	[3⁺,4]	24	Pm3, Pn3, Fm3, Fd3, Im3, Pa3, Ia3
207–214		432	O	432	[3,4]⁺	24	P432, P4₂32 F432, F4₁32 I432 P4₃32, P4₁32, I4₁32
215–220		43m	T_d	*332	[3,3]	24	P43m, F43m, I43m P43n, F43c, I43d
221–230		m3m	O_h	*432	[3,4]	48	Pm3m, Pn3n, Pm3n, Pn3m Fm3m, Fm3c, Fd3m, Fd3c Im3m, Ia3d

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注: e 面是雙滑移面，是在兩個不同方向的滑移，存在於七個正交群，五個四方群和五個立方群中，都具有含有中心的晶格，官方的符號為e

參考資料

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外部連結

International Union of Crystallography （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Point Groups and Bravais Lattices
[1] Bilbao Crystallographic Server
Space Group Info (old)
Space Group Info (new)
Crystal Lattice Structures: Index by Space Group
Full list of 230 crystallographic space groups
Interactive 3D visualization of all 230 crystallographic space groups （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Huson, Daniel H., The Fibrifold Notation and Classification for 3D Space Groups (PDF), 1999^{[永久失效連結]}
The Geometry Center: 2.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (two dimensions) （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
The Geometry Center: 10.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (three dimensions) （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

[1]
又名向夫立符號

[1] [1]
又名向夫立符號

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