空間群

在數學和物理學中，空間群（space group）是空間中（通常是三維空間）一種形態的空間對稱群。在三維空間中有219種不同的類型，或230種不同的手性類型。對超過三維的空間中的空間群也有研究，它們有時被稱作比貝爾巴赫（英語：Ludwig Bieberbach）群，並且是離散的緊群，具有歐氏空間的等距同構。它是由俄國結晶學家費多洛夫和德國結晶學家薛弗利斯（Artur Moritz Schoenflies，1853-1928）於1890至1891年間各自獨立地先後推導得出來的。

在晶體學中，空間群也被稱為費奧多羅夫（英語：Evgraf Fedorov）群，是對晶體對稱型的一種描述。三維空間群的權威參考文獻是《國際晶體學表》。空間群可以分為兩類：一類稱為簡單空間群或稱點空間群；一類稱為複雜空間群或稱非點空間群。其中73種為簡單空間群，餘下的157種為複雜空間群。

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#	晶系（空間群數量）布拉維晶格	點群					空間群 (國際短符號)
#	晶系（空間群數量）布拉維晶格	國際標記法	熊夫利標記法（英語：Schoenflies notation）^[1]	軌形（英語：Orbifold）	考克斯特符號（英語：Coxeter notation）	點群階	空間群 (國際短符號)
1	三斜晶系 (2)	1	C₁	11	[ ]⁺	1	P1
2	三斜晶系 (2)	1	C_i	1×	[2⁺,2⁺]	2	P1
3–5	單斜晶系 (13)	2	C₂	22	[2]⁺	2	P2, P2₁ C2
6–9		m	C_s	*11	[ ]	2	Pm, Pc Cm, Cc
10–15		2/m	C_2h	2*	[2,2⁺]	4	P2/m, P2₁/m C2/m, P2/c, P2₁/c C2/c
16–24	正交晶系 (59)	222	D₂	222	[2,2]⁺	4	P222, P222₁, P2₁2₁2, P2₁2₁2₁, C222₁, C222, F222, I222, I2₁2₁2₁
25–46		mm2	C_2v	*22	[2]	4	Pmm2, Pmc2₁, Pcc2, Pma2, Pca2₁, Pnc2, Pmn2₁, Pba2, Pna2₁, Pnn2 Cmm2, Cmc2₁, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2 Fmm2, Fdd2 Imm2, Iba2, Ima2
47–74		mmm	D_2h	*222	[2,2]	8	Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce Fmmm, Fddd Immm, Ibam, Ibca, Imma
75–80	四方晶系 (68)	4	C₄	44	[4]⁺	4	P4, P4₁, P4₂, P4₃, I4, I4₁
81–82		4	S₄	2×	[2⁺,4⁺]	4	P4, I4
83–88		4/m	C_4h	4*	[2,4⁺]	8	P4/m, P4₂/m, P4/n, P4₂/n I4/m, I4₁/a
89–98		422	D₄	224	[2,4]⁺	8	P422, P42₁2, P4₁22, P4₁2₁2, P4₂22, P4₂2₁2, P4₃22, P4₃2₁2 I422, I4₁22
99–110		4mm	C_4v	*44	[4]	8	P4mm, P4bm, P4₂cm, P4₂nm, P4cc, P4nc, P4₂mc, P4₂bc I4mm, I4cm, I4₁md, I4₁cd
111–122		42m	D_2d	2*2	[2⁺,4]	8	P42m, P42c, P42₁m, P42₁c, P4m2, P4c2, P4b2, P4n2 I4m2, I4c2, I42m, I42d
123–142		4/mmm	D_4h	*224	[2,4]	16	P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P4₂/mmc, P4₂/mcm, P4₂/nbc, P4₂/nnm, P4₂/mbc, P4₂/mnm, P4₂/nmc, P4₂/ncm I4/mmm, I4/mcm, I4₁/amd, I4₁/acd
143–146	三方晶系 (25)	3	C₃	33	[3]⁺	3	P3, P3₁, P3₂ R3
147–148		3	S₆	3×	[2⁺,6⁺]	6	P3, R3
149–155		32	D₃	223	[2,3]⁺	6	P312, P321, P3₁12, P3₁21, P3₂12, P3₂21 R32
156–161		3m	C_3v	*33	[3]	6	P3m1, P31m, P3c1, P31c R3m, R3c
162–167		3m	D_3d	2*3	[2⁺,6]	12	P31m, P31c, P3m1, P3c1 R3m, R3c
168–173	六方晶系 (27)	6	C₆	66	[6]⁺	6	P6, P6₁, P6₅, P6₂, P6₄, P6₃
174		6	C_3h	3*	[2,3⁺]	6	P6
175–176		6/m	C_6h	6*	[2,6⁺]	12	P6/m, P6₃/m
177–182		622	D₆	226	[2,6]⁺	12	P622, P6₁22, P6₅22, P6₂22, P6₄22, P6₃22
183–186		6mm	C_6v	*66	[6]	12	P6mm, P6cc, P6₃cm, P6₃mc
187–190		6m2	D_3h	*223	[2,3]	12	P6m2, P6c2, P62m, P62c
191–194		6/mmm	D_6h	*226	[2,6]	24	P6/mmm, P6/mcc, P6₃/mcm, P6₃/mmc
195–199	立方晶系 (36)	23	T	332	[3,3]⁺	12	P23, F23, I23 P2₁3, I2₁3
200–206		m3	T_h	3*2	[3⁺,4]	24	Pm3, Pn3, Fm3, Fd3, Im3, Pa3, Ia3
207–214		432	O	432	[3,4]⁺	24	P432, P4₂32 F432, F4₁32 I432 P4₃32, P4₁32, I4₁32
215–220		43m	T_d	*332	[3,3]	24	P43m, F43m, I43m P43n, F43c, I43d
221–230		m3m	O_h	*432	[3,4]	48	Pm3m, Pn3n, Pm3n, Pn3m Fm3m, Fm3c, Fd3m, Fd3c Im3m, Ia3d

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注: e 面是雙滑移面，是在兩個不同方向的滑移，存在於七個正交群，五個四方群和五個立方群中，都具有含有中心的晶格，官方的符號為e

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International Union of Crystallography （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Point Groups and Bravais Lattices
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Space Group Info (old)
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Huson, Daniel H., The Fibrifold Notation and Classification for 3D Space Groups (PDF), 1999^{[永久失效連結]}
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[1]
又名向夫立符號

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[1] [1]
又名向夫立符號

[1]

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參考資料

外部連結