快樂數

快樂數有以下的特性：在給定的進位制下，該數字所有數字平方和（數碼的平方和），得到的新數再次求所有數碼的平方和，如此重複進行，最終結果必為1。

以十進位為例：

2 8 → ${\displaystyle {{{2}^{2}}+{{8}^{2}}}=68}$ → ${\displaystyle {{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}=100}$ → ${\displaystyle {{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}+{{0}^{2}}}=1}$

3 2 → ${\displaystyle {{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=13}$ → ${\displaystyle {{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}=10}$ → ${\displaystyle {{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}=1}$

3 7 → ${\displaystyle {{{3}^{2}}+{{7}^{2}}}=58}$ → ${\displaystyle {{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}=89}$ → ${\displaystyle {{{8}^{2}}+{{9}^{2}}}=145}$ → ${\displaystyle {{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}+{{5}^{2}}}=42}$ → ${\displaystyle {{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=20}$ → ${\displaystyle {{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}=4}$ → ${\displaystyle {{4}^{2}}=16}$ → ${\displaystyle {{{1}^{2}}+{{6}^{2}}}=37}$${\displaystyle ......}$

5 6 → ${\displaystyle {{{5}^{2}}+{{6}^{2}}}=61}$ → ${\displaystyle {{{6}^{2}}+{{1}^{2}}}=37}$ → ${\displaystyle {{{3}^{2}}+{{7}^{2}}}=58}$ → ${\displaystyle {{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}=89}$ → ${\displaystyle {{{8}^{2}}+{{9}^{2}}}=145}$ → ${\displaystyle {{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}+{{5}^{2}}}=42}$ → ${\displaystyle {{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=20}$ → ${\displaystyle {{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}=4}$ → ${\displaystyle {{4}^{2}}=16}$ → ${\displaystyle {{{1}^{2}}+{{6}^{2}}}=37}$${\displaystyle ......}$

因此28和32是快樂數，而在37和56的計算過程中，數字會重複出現，繼續計算的結果只會是上述數字的循環（不快樂數循環），不會出現1，因此37和56不是快樂數。

不是快樂數的數稱為不快樂數（英語：unhappy number），所有不快樂數的數碼平方和計算，最後都會進入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循環中。

在十進位下，100以內的快樂數有（OEIS數列A007770）：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100，共20個。

快樂數表格

以下是小於100的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數，紅色數字表示它是不快樂數循環。

00	01	02	03	04	05	06	07	08	09
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49
50	51	52	53	54	55	56	57	58	59
60	61	62	63	64	65	66	67	68	69
70	71	72	73	74	75	76	77	78	79
80	81	82	83	84	85	86	87	88	89
90	91	92	93	94	95	96	97	98	99

以下是100到小於200的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數，紅色數字表示它是不快樂數循環。

100	101	102	103	104	105	106	107	108	109
110	111	112	113	114	115	116	117	118	119
120	121	122	123	124	125	126	127	128	129
130	131	132	133	134	135	136	137	138	139
140	141	142	143	144	145	146	147	148	149
150	151	152	153	154	155	156	157	158	159
160	161	162	163	164	165	166	167	168	169
170	171	172	173	174	175	176	177	178	179
180	181	182	183	184	185	186	187	188	189
190	191	192	193	194	195	196	197	198	199

以下是200到小於300的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數。

200	201	202	203	204	205	206	207	208	209
210	211	212	213	214	215	216	217	218	219
220	221	222	223	224	225	226	227	228	229
230	231	232	233	234	235	236	237	238	239
240	241	242	243	244	245	246	247	248	249
250	251	252	253	254	255	256	257	258	259
260	261	262	263	264	265	266	267	268	269
270	271	272	273	274	275	276	277	278	279
280	281	282	283	284	285	286	287	288	289
290	291	292	293	294	295	296	297	298	299

300以內的快樂數沒有其中一位是5，300以內的數其中有一位是5，它一定不是快樂數。

以下是300到小於400的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數。

300	301	302	303	304	305	306	307	308	309
310	311	312	313	314	315	316	317	318	319
320	321	322	323	324	325	326	327	328	329
330	331	332	333	334	335	336	337	338	339
340	341	342	343	344	345	346	347	348	349
350	351	352	353	354	355	356	357	358	359
360	361	362	363	364	365	366	367	368	369
370	371	372	373	374	375	376	377	378	379
380	381	382	383	384	385	386	387	388	389
390	391	392	393	394	395	396	397	398	399

發現10*10、100*100等表格的快樂數表格有線對稱。

快樂數的因數

以下是300以內的快樂數因數。

快樂數	因數	因數個數	奇偶數	數字和
1	1	1	奇數	1
7	1、7	2	奇數	7
10	1、2、5、10	4	偶數	1
13	1、13	2	奇數	4
19	1、19	2	奇數	10
23	1、23	2	奇數	5
28	1、2、4、7、14、28	6	偶數	10
31	1、31	2	奇數	4
32	1、2、4、8、16、32	6	偶數	5
44	1、2、4、11、22、44	6	偶數	8
49	1、7、49	3	奇數	13
68	1、2、4、17、34、68	6	偶數	14
70	1、2、5、7、10、14、35、70	8	偶數	7
79	1、79	2	奇數	16
82	1、2、41、82	4	偶數	10
86	1、2、43、86	4	偶數	14
91	1、7、13、91	4	奇數	10
94	1、2、47、94	4	偶數	13
97	1、97	2	奇數	16
100	1、2、4、5、10、20、25、50、100	9	偶數	1
103	1、103	2	奇數	4
109	1、109	2	奇數	10
129	1、3、43、129	4	奇數	12
130	1、2、5、10、13、26、65、130	8	偶數	4
133	1、7、19、133	4	奇數	7
139	1、139	2	奇數	13
167	1、167	2	奇數	14
176	1、2、4、8、11、16、22、44、88、176	10	偶數	14
188	1、2、4、47、94、188	6	偶數	17
190	1、2、5、10、19、38、95、190	8	偶數	10
192	1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、64、96、192	14	偶數	12
193	1、193	2	奇數	13
203	1、7、29、203	4	奇數	5
208	1、2、4、8、13、16、26、52、104、208	10	偶數	10
219	1、3、73、219	4	奇數	12
226	1、2、113、226	4	偶數	10
230	1、2、5、10、23、46、115、230	8	偶數	5
236	1、2、4、59、118、236	6	偶數	11
239	1、239	2	奇數	14
262	1、2、131、262	4	偶數	10
263	1、263	2	奇數	11
280	1、2、4、5、7、8、10、14、20、28、35、40、56、70、140、280	16	偶數	10
291	1、3、97、291	4	奇數	12
293	1、293	2	奇數	14

由表格可知：

• 128以內快樂數沒有因數3、6、9等數，如果128以內的數是3的倍數等，它一定不是快樂數。
• 1000以內快樂數沒有因數9、15、18、21等數，如果1000以內的數是9的倍數等，它一定不是快樂數。
• 1000以內快樂數同樣也沒有能被25整除但不能被100整除，即尾數是（25、50或75的數），如果1000以內的數是25的倍數但不是100的倍數，它一定不是快樂數。
• 1000以內的快樂數有143個，只有7個是3的倍數，129、192、219、291、888、912、921，概率:5%。
• 1000以內的快樂數有143個，有其中一位是5的只有12個，356、365、536、556、563、565、566、635、653、655、656、665，概率:8%。
• 1000以內的快樂數有143個，只有3個是25的倍數，100、700、1000，概率:2%。

快樂質數

在十進位下，300以內的快樂質數有（OEIS數列A035497）：7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293，共15個。

快樂完全數

已知的51個完全數，只有3個是快樂數：28、496、8128。

其他進制的快樂數

• 三進制：1, 3, 9, 13, 17, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 39, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 85, 89, 91, 93 （OEIS數列A239320）

• 五進制：1, 5, 7, 11, 19, 23, 25, 27, 33, 35, 41, 43, 49, 51, 55, 79, 81, 83, 91, 93, 95, 99 （OEIS數列A240849）

• 任何進制（最小快樂數且大於1）：2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 17, 2, 5, 2, 21, 22, 23, 24, 5, 26, 27, 28, 3, 2, 31, 32, 33, 3, 35, 6, 31, 38, 39, 40, 13, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 7, 50, 51, 52, 31, 54, 53, 56, 57, 58, 59, 54, 61, 62, 63, 8, 65, 66, 67, 12, 69, 70, 71, 72

（OEIS數列A161871）

其他進制的不快樂數循環

• 2進制
  • 每個數都是快樂數

• 3進制
  • 2 → 11 → 2

    在十進制中為2 → 4 → 2

• 4進制
  • 每個數都是快樂數

• 5進制
  • 4 → 31 →20 → 4

    在十進制中為4 → 16 → 10 → 4

  • 23 → 23

    在十進制中為13 → 13

• 6進制
  • 5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5

    在十進制中為5 → 25 → 17 → 29 → 41 → 26 → 20 → 13 → 5

• 7進制
  • 2 → 4 → 22 → 11 → 2

    在十進制中為2 → 4 → 16 → 8 → 2

  • 34 → 34

    在十進制中為25 → 25

• 8進制
  • 4 → 20 → 4

    在十進制中為4 → 16 → 4

  • 5 → 31 → 12 → 5

    在十進制中為5 → 25 → 10 → 5

  • 32 → 15 → 32

    在十進制中為26 → 13 → 26

• 9進制
  • 58 → 108 → 72 → 58

    在十進制中為53 → 89 → 65 → 53

  • 55 → 55

    在十進制中為50 → 50

• 10進制
  • 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4

• 11進制
  • 75 → 68 → 91 → 75

    在十進制中為82 → 74 → 100 → 82

  • 23 → 12 → 5 → 23

    在十進制中為25 → 13 → 5 → 25

• 12進制
  • 22 → 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22

    在十進制中為26 → 8 → 64 → 41 → 34 → 104 → 128 → 164 → 66 → 61 → 26

  • 21 → 5 → 21

    在十進制中為25 → 5 → 25

• 13進制
  • 79 → A0 → 79

    在十進制中為100 → 130 → 100

  • 36 → 36

    在十進制中為45 → 45

  • B2 → 98 → B2

    在十進制中為145 → 125 → 145

  • 67 → 67

    在十進制中為85 → 85

  • 14 → 14

    在十進制中為17 → 17

• 16進制
  • D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D

    在十進制中為13 → 169 → 181 → 146 → 85 → 50 → 13

其他性質

• 快樂數加入數字0或交換的數也是快樂數，不快樂數的情況也是。例如：49是快樂數，94、4900也是快樂數；123不是快樂數，321、10203、123000也不是快樂數
• 通過檢查十進制中前一百萬個快樂數，它們的自然密度似乎約為0.15。十進制快樂數也許沒有漸近密度。快樂數的自然密度上限大於0.18577，下限小於0.1138。^[1]
• 十進位不快樂數的循環只有一個，是 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 。

Python程式碼

#ishappy number

def ishappy(n):
    a = []
    while n not in a:
        a.append(n)
        n = sum([int(x) **2 for x in str(n)])
        
    return 'happy' if n == 1 else 'unhappy'

相關條目

• 幸福數（英語：Fortunate number）
• 哈沙德數
• 幸運數

外部連結

• Happy number calculator - 可以線上判斷數字是否為快樂數〔英文〕

1. Gilmer, Justin. On the Density of Happy Numbers. Integers. 2013, 13 (2): 2. Bibcode:2011arXiv1110.3836G. arXiv:1110.3836 .