德拜函數 （Debye function）是彼得·德拜 於1912年估算聲子 對固體的比熱 的德拜模型 時創立的函數，定義如下
德拜函數
D
n
(
x
)
=
n
x
n
∫
0
x
t
n
e
t
−
1
d
t
.
{\displaystyle D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{e^{t}-1}}\,dt.}
展開式
D
n
(
x
)
=
1
−
n
2
(
n
+
1
)
x
+
n
∑
k
=
1
∞
B
2
k
(
2
k
+
n
)
(
2
k
)
!
x
2
k
,
|
x
|
<
2
π
,
n
≥
1
{\displaystyle D_{n}(x)=1-{\frac {n}{2(n+1)}}x+n\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k+n)(2k)!}}x^{2k},\quad |x|<2\pi ,\ n\geq 1}
其中
B
2
k
{\displaystyle B_{2k}}
伯努利數 。
D
n
(
x
)
=
n
∗
(
(
−
1
)
n
∗
n
!
∗
ζ
(
n
+
1
)
+
∑
m
=
0
n
(
(
−
1
)
n
−
m
+
1
∗
n
!
∗
x
m
∗
L
i
n
−
m
+
1
(
e
x
/
m
!
)
)
x
n
+
1
−
n
n
+
1
{\displaystyle D_{n}(x)={\frac {n*((-1)^{n}*n!*\zeta (n+1)+\sum _{m=0}^{n}((-1)^{n-m+1}*n!*x^{m}*Li_{n-m+1}(e^{x}/m!))}{x^{n+1}}}-{\frac {n}{n+1}}}
[ 1]
其中
L
i
m
(
x
)
{\displaystyle Li_{m}(x)}
多重對數
漸近式 For
x
→
0
{\displaystyle x\rightarrow 0}
D
n
(
0
)
=
1
{\displaystyle D_{n}(0)=1}
For
x
≪
1
{\displaystyle x\ll 1}
D
n
{\displaystyle D_{n}}
D
n
(
x
)
∝
∫
0
∞
d
t
t
n
exp
(
t
)
−
1
=
Γ
(
n
+
1
)
ζ
(
n
+
1
)
.
[
ℜ
n
>
0
]
{\displaystyle D_{n}(x)\propto \int _{0}^{\infty }{\rm {d}}t{\frac {t^{n}}{\exp(t)-1}}=\Gamma (n+1)\zeta (n+1).\quad [\Re \,n>0]}
[ 2]
![{\displaystyle D_{n}(x)\propto \int _{0}^{\infty }{\rm {d}}t{\frac {t^{n}}{\exp(t)-1}}=\Gamma (n+1)\zeta (n+1).\quad [\Re \,n>0]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45584987608b3bd042c1fef7761ca01347aac77b)
