巴拿赫代數

泛函分析中，得名於斯特凡·巴拿赫的巴拿赫代數是實數或複數（或非阿基米德完備賦范域）上的結合代數A，同時也是巴拿赫空間，即在範數導出的度量中完備的賦范空間。範數要滿足 $${\displaystyle \|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad \forall x,y\in A.}$$

這確保了乘法運算連續。

若巴拿赫代數對乘法有範數為1的單位元，則稱其是含么的（unital）。若其乘法是可交換的，則稱其可交換。任意巴拿赫代數A（無論有無單位元）都可等距同構地嵌入含么巴拿赫代數${\displaystyle A_{e}}$，從而形成${\displaystyle A_{e}}$的閉理想。通常會先驗地假設所考慮的代數是含么的：因為可以先考慮${\displaystyle A_{e}}$，再在原始代數中應用結果，來發展許多理論。不過並非總如此，例如無法在巴拿赫代數中定義不含單位元的三角函數。

實巴拿赫代數的理論可能異於復巴拿赫代數，例如非平凡復巴拿赫代數中元素的譜不會是空的，而實巴拿赫代數中，某些元素的譜可能是空的。

巴拿赫代數也可以定義在P進數域上。這是P進數分析的一部分。

例子

巴拿赫代數的典型例子是${\displaystyle C_{0}(X)}$，即定義在局部緊豪斯多夫空間X上在無窮遠處消失的（復值）連續函數空間。若且唯若X是緊空間，${\displaystyle C_{0}(X)}$含么。共軛複數是對合，因此${\displaystyle C_{0}(X)}$實際上是C*-代數。更一般地說，C*-代數都是巴拿赫代數。

• 實數（或複數）集是巴拿赫代數，範數為絕對值。
• 若給所有實數或複數n階方陣集合配備服從乘法範數，就成為含么巴拿赫代數。
• 取巴拿赫空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$（或${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$），範數為${\displaystyle \|x\|=\max _{}|x_{i}|}$，並定義乘法分量形式：${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)=\left(x_{1}y_{1},\ldots ,x_{n}y_{n}\right).}$
• 四元數形成了4維實巴拿赫代數，範數為四元數的絕對值。
• 定義在某集合（具有逐點乘和上確範數）上的有界實值或復值函數的代數是含么巴拿赫代數。
• 某局部緊空間（具有逐點乘和上確範數）上的有界連續實值或復值函數的代數是巴拿赫代數。
• 巴拿赫空間E（以函數複合為乘法，以算子範數為範數）上的連續線性算子的代數是含么巴拿赫代數。E上所有緊算子的集合是巴拿赫代數，也是閉理想。若${\displaystyle \dim E=\infty }$，則沒有單位元。^[1]
• 若G是局部緊豪斯多夫拓撲群，${\displaystyle \mu }$是其哈爾測度，則G上所有${\displaystyle \mu }$可積函數的巴拿赫空間${\displaystyle L^{1}(G)}$在卷積${\displaystyle xy(g)=\int x(h)y\left(h^{-1}g\right)d\mu (h),\ \forall x,y\in L^{1}(G)}$下成為巴拿赫代數。^[2]
• 一致代數：巴拿赫代數，是復代數${\displaystyle C(X)}$的子代數，具有上確範數，包含常數並分離了X的點（必須是緊豪斯多夫空間）。
• 自然巴拿赫函數代數：一致代數，其所有特徵都在X的點上取值。
• C*-代數：某希爾伯特空間上有界算子的代數的閉*-子代數，是巴拿赫代數。
• 測度代數：包含某局部緊群上所有拉東測度的巴拿赫代數，測度之積由卷積給出。^[2]
• 四元數代數${\displaystyle \mathbb {H} }$是實巴拿赫代數，不是復代數，因為四元數的中心是實數。
• 仿射體代數（affinoid algebra）是非阿基米德域上的一種巴拿赫代數，是剛性解析幾何的基本構件。

性質

一些由冪級數定義的初等函數可在任意含么巴拿赫代數中定義，如指數函數和三角函數，及更一般的任意整函數（特別地，指數映射可用於定義抽象索引群）。幾何級數公式在一般含么巴拿赫代數中仍有效。二項式定理對巴拿赫代數中兩個交換元也成立。 任何含么巴拿赫代數中的可逆元集合都是開集，其上的逆運算是連續的（因此是同胚），所以形成了乘法下的拓撲群。^[3]

若巴拿赫代數有么元${\displaystyle \mathbf {1} }$，則${\displaystyle \mathbf {1} }$不可能是交換子；即${\displaystyle xy-yx\neq \mathbf {1} ,\ \forall x,y\in A}$。這是因為${\displaystyle xy,\ yx}$若不是${\displaystyle 0}$，則具有相同的譜。

上述例子給出的各種函數代數具有與標準代數（如實數）迥異的性質，例如：

• 是除代數的實巴拿赫代數同構於實數、複數或四元數。因此，只有是除代數的復巴拿赫代數是復形。（這就是蓋爾范德-馬祖爾定理）
• 沒有零除子的含么實巴拿赫代數的主理想都是閉的，代數同構於實數、複數與四元數。^[4]
• 沒有零除子的交換實含么諾特巴拿赫代數同構於實數或複數。
• 交換實含么諾特巴拿赫代數（可有零除子）是有限維的。
• 巴拿赫代數中的永久奇異元是零的拓撲除子，也就是說，考慮巴拿赫代數A的擴張B，使一些在給定代數A中奇異的元素，在B中有乘法逆元。A中零的拓撲除子在A的任意巴拿赫擴張B中都是永久奇異的。

譜理論

主條目：譜理論

複數域上的含么巴拿赫代數為譜理論提供了一個一般環境。元素${\displaystyle x\in A}$的譜記作${\displaystyle \sigma (x)}$，包含所有使${\displaystyle x-\lambda \mathbf {1} }$在A中不可逆的復純量${\displaystyle \lambda }$。任意元素x的譜是${\displaystyle \mathbb {C} }$中半徑為${\displaystyle \|x\|}$、圓心在${\displaystyle 0}$的閉圓盤的閉子集，於是也是緊的。另外，元素x的譜${\displaystyle \sigma (x)}$也非空，滿足譜半徑公式： $${\displaystyle \sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.}$$

給定${\displaystyle x\in A}$，全純函數微積分允許為在${\displaystyle \sigma (x)}$的鄰域全純的任意函數f定義${\displaystyle f(x)\in A}$；此外，譜映射定理成立：^[5] $${\displaystyle \sigma (f(x))=f(\sigma (x)).}$$

若巴拿赫代數A是復巴拿赫空間X上的有界線性算子的代數${\displaystyle L(X)}$（例如方陣的代數），則A中的譜與算子理論中的譜重合。對${\displaystyle f\in C(X)}$（緊豪斯多夫空間X），可見： $${\displaystyle \sigma (f)=\{f(t):t\in X\}.}$$

C*-代數的正規元素x的範數與譜半徑重合，這推廣了正規算子的類似事實。

令A為復含么巴拿赫代數，當中非零元x都可逆（是除代數）。${\displaystyle \forall a\in A}$，都有${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$使 ${\displaystyle a-\lambda \mathbf {1} }$不可逆（因為a的譜非空），於是${\displaystyle a=\lambda \mathbf {1} :}$代數A自然同構於${\displaystyle \mathbb {C} }$（蓋爾范德-馬祖爾定理的複數情形）。

理想與特徵

令A為${\displaystyle \mathbb {C} }$上的含么交換巴拿赫代數。由於A是含么交換環，A的不可逆元屬於A的某極大理想。由於極大理想${\displaystyle {\mathfrak {m}}\in A}$是閉的，${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$是巴拿赫代數且是域，且由蓋爾范德-馬祖爾定理，A的最大理想集與非零同胚${\displaystyle A\to \mathbb {C} }$集${\displaystyle \Delta (A)}$之間有雙射。集合${\displaystyle \Delta (A)}$稱作A的「結構空間」或「特徵空間」，元素為「特徵」。

特徵${\displaystyle \chi }$是A上的線性泛函，是乘法函數（${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b)}$且滿足${\displaystyle \chi (\mathbf {1} )=1}$。）每個特徵都是${\displaystyle A\to \mathbb {C} }$且自動連續，因為特徵的核是最大理想，是閉的；而且範數（即算子範數）為1。裝備了A上逐點收斂拓撲（即由${\displaystyle A^{*}}$的弱*-拓撲誘導的拓撲）後，特徵空間${\displaystyle \Delta (A)}$是豪斯多夫緊空間。

${\displaystyle \forall x\in A,}$ $${\displaystyle \sigma (x)=\sigma ({\hat {x}})}$$ q在${\displaystyle {\hat {x}}}$是x的蓋爾范德表示，定義如下：${\displaystyle {\hat {x}}}$是連續函數${\displaystyle \Delta (A)\to \mathbb {C} }$，由${\displaystyle {\hat {x}}(\chi )=\chi (x)}$給出。${\displaystyle {\hat {x}}}$的譜也是作為緊空間${\displaystyle \Delta (A)}$上復連續函數的代數${\displaystyle C(\Delta (A))}$的元素的譜。顯式地寫， $${\displaystyle \sigma ({\hat {x}})=\{\chi (x):\chi \in \Delta (A)\}.}$$

作為代數，若且唯若含么交換巴拿赫代數的蓋爾范德表示具有平凡核，其是半單的（即其雅各布森根為零）。這種代數的重要例子是交換C*-代數。事實上，若A是交換含么C*-代數，則其蓋爾范德表示是${\displaystyle A,\ C(\Delta (A))}$間的等距*-同構。^[a]

巴拿赫*-代數

巴拿赫*-代數A是複數域上的巴拿赫代數，以及映射${\displaystyle {}^{*}:A\to A}$，滿足如下性質：

1. ${\displaystyle \forall x\in A,\ \left(x^{*}\right)^{*}=x}$（於是映射是對合）
2. ${\displaystyle \forall x,y\in A,\ (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$
3. ${\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {C} ,\ x\in A,\ (\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}}$，其中${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$表示${\displaystyle \lambda }$的共軛複數
4. ${\displaystyle \forall x,y\in A,\ (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$

也就是說，巴拿赫*-代數是${\displaystyle \mathbb {C} }$上的巴拿赫代數，也是*-代數。

在大多數自然例子中，還需要對合是等距的，即 $${\displaystyle \|x^{*}\|=\|x\|\quad {\text{ for all }}x\in A.}$$ 有人把這性質納入了巴拿赫*-代數的定義。

巴拿赫*-代數滿足${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|}$是C*-代數。

另見

• 近似單位
• 卡普蘭斯基猜想
• 算子代數
• 希洛夫界

註釋

1. 證明：由於交換C*-代數的元素都是正規的，所以蓋爾范德表示是等距的；特別是，其是單射，像是閉的。蓋爾范德表示的像由魏爾施特拉斯逼近定理是稠密的。

參考文獻

1. Conway 1990，Example VII.1.8.
2. Conway 1990，Example VII.1.9.
3. Conway 1990，Theorem VII.2.2.
4. García, Miguel Cabrera; Palacios, Angel Rodríguez. A New Simple Proof of the Gelfand-Mazur-Kaplansky Theorem. Proceedings of the American Mathematical Society. 1995, 123 (9): 2663–2666 [2023-12-22]. ISSN 0002-9939. JSTOR 2160559. doi:10.2307/2160559. （原始內容存檔於2023-12-25）.
5. Takesaki 1979，Proposition 2.8.

• Bollobás, B. Linear Analysis. Cambridge University Press. 1990. ISBN 0-521-38729-9. 含有內容需登入查看的頁面 (link)
• Bonsall, F. F.; Duncan, J. Complete Normed Algebras. New York: Springer-Verlag. 1973. ISBN 0-387-06386-2.
• Conway, J. B. A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics 96. Springer Verlag. 1990. ISBN 0-387-97245-5.
• Dales, H. G.; Aeina, P.; Eschmeier, J; Laursen, K.; Willis, G. A. Introduction to Banach Algebras, Operators and Harmonic Analysis. Cambridge University Press. 2003. ISBN 0-521-53584-0. doi:10.1017/CBO9780511615429.
• Mosak, R. D. Banach algebras. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press). 1975. ISBN 0-226-54203-3.
• Takesaki, M. Theory of Operator Algebras I. Encyclopaedia of Mathematical Sciences 124 1st. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. 1979. ISBN 978-3-540-42248-8. ISSN 0938-0396.