*-代數

抽象代數中，*-代數（或對合代數）是由兩個對合環R、A組成的數學結構，其中R是交換的，A具有R上結合代數的結構。對合代數推廣了帶共軛的數系的概念，如複數和共軛複數、複數上的矩陣和共軛轉置、希爾伯特空間上的線性算子與埃爾米特伴隨。

不過，代數也可能不允許任何對合。^[a]

定義

*-環

數學中，*-環是具有映射${\displaystyle {}^{*}:\ A\to A}$的環，這映射既是反自同構也是對合。

更確切地說，^*要滿足以下公理：${\displaystyle \forall x,\ y\in A,}$^[1]

• ${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$

• ${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$
• ${\displaystyle 1^{*}=1}$
• ${\displaystyle (x^{*})^{*}=x}$

這也稱作對合環。第三條公理可從第二與第四條推出。

使${\displaystyle x^{*}=x}$的元素是自伴的。^[2]

• -環的典型例子是複數域和以共軛複數為對合的代數數域。可在任意*-環上定義半雙線性形式。

此外，還可定義代數對象的*-版本，如理想和子環，要求是*-不變的：${\displaystyle x\in I\Rightarrow x^{*}\in I}$等等。

在計算理論中，*-環與星半環無關。

*-代數

*-代數A是*-環，^[b]其對合*是交換*-環R上的結合代數，帶有對合'，使${\displaystyle \forall r\in R,\ x\in A,\ (rx)^{*}=r'x^{*}}$。^[3] 基*-環R通常是複數（其中'為共軛複數）。

據公理可知，A上的*在R中是共軛線性的，即${\displaystyle \forall \lambda ,\ \mu \in R,\ x,\ y\in A,}$

${\displaystyle (\lambda x+\mu y)^{*}=\lambda 'x^{*}+\mu 'y^{*}}$

*-同態${\displaystyle f:\ A\to B}$是與A、B的對合相容的代數同態，即

• ${\displaystyle \forall a\in A,\ f(a^{*})=f(a)^{*}.}$^[2]

*-運算的哲學

• -環上的*-運算類似於複數上的共軛複數。*-代數上的*-運算類似於在復矩陣代數中取伴隨。

符號

• 對合是一元運算，記作後置的星號，位於主線上方或附近：

x ↦ x*，或

x ↦ x^∗

但不能是${\displaystyle x*}$。

例子

• 交換環配備平凡（恆等）對合成為*-環。
• 人們最熟悉的實數上的*-環和*-代數是複數域，共軛複數發揮對合*的作用。
• 更一般地，通過平方根（如虛數單位${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$）的伴隨得到的域擴張是原域上的*-代數，視作平凡*-環。*可翻轉平方根的符號。
• 二次整數環（對某些D）是交換*-環，*的定義與此類似；二次域是適當二次整數環上的*-代數。
• 四元數、雙曲複數、二元數，可能還有其他超複數系構成*-環（帶有內置的共軛運算）及實數上的*-代數（*是平凡的）。三者都不是復代數。
• 赫維茲四元數形成非交換*-環，帶有四元共軛。
• 實數上n階方陣的矩陣代數，*是轉置。
• 複數上n階方陣的矩陣代數，*是共軛轉置。
• 其推廣，即希爾伯特空間上有界線性算子代數及其埃爾米特伴隨也定義了*-代數。
• 交換平凡*-環R上的多項式環${\displaystyle R[x]}$是R上的*-代數，${\displaystyle P^{*}(x)=P(-x).}$
• 若${\displaystyle (A,\ +,\ \times ,\ {}^{*})}$是*-環、（交換）R環上的代數、${\displaystyle \forall r\in R,\ x\in A,\ (rx)^{*}=r(X^{*})}$，則A是R上的*-代數（其中*平凡）。
  • *-環都是整數上的*-代數。
• 交換*-環是自身的*-代數，更一般地，也是其任意*-子環的*-代數。
• 交換*-環R對自身*-理想的商是R上的*-代數。
  • 例如，任意交換平凡*-環都是其對偶數環上的*-代數，即具有非平凡*的*-環，因為對${\displaystyle \varepsilon =0}$的商使原環復原。
  • 交換環K及其多項式環${\displaystyle K[x]}$也如此：對${\displaystyle x=0}$的商使K復原。
• 黑克代數中，對合對卡日丹-盧斯蒂格所行駛非常重要。
• 橢圓曲線的自同態環成為整數上的*-代數，其中對合是取對偶同源。類似的構造也適於有極化的阿貝爾簇，當中稱作洛薩提對合（見Milne的阿貝爾簇講義）。

對合霍普夫代數是*-代數的重要例子（具有相容余乘法的附加結構）；最常見的例子是：

• 群霍普夫代數：群環，對合是${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$。

反例

不是所有代數都允許對合：

考慮複數上的2階方陣的子代數： $${\displaystyle {\mathcal {A}}:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}:a,b\in \mathbb {C} \right\}}$$

任何非平凡反自同構必為如下形式：^[4] $${\displaystyle \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}1&z\\0&0\end{pmatrix}}\quad \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$$ 對任意複數${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$。

由此可見，任何非平凡反自同構都不是冪等的： $${\displaystyle \varphi _{z}^{2}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$$

結論是，子代數不允許任何對合。

附加結構

轉置的很多性質在一般*-代數中成立：

• 埃爾米特元素形成若爾當代數；
• 斜埃爾米特元素形成李代數;
• 若2在*-環中可逆，則算子${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1+{}^{*}),\ {\frac {1}{2}}(1-{}^{*})}$是正交冪等，^[2]稱為對稱與反對稱，因此代數分解為對稱與反對稱（埃爾米特、斜埃爾米特）元素模的直和（若*-環是域則為向量空間）。這些空間一般不構成結合代數，因為冪等是算子，而不是代數中的元素。

斜結構

給定*-環，有映射${\displaystyle -^{*}:\ x\mapsto -x^{*}}$。由於${\displaystyle 1\mapsto -1}$，它並不定義*-環結構（除非特徵標為2，這時−*與原*相同），也沒有反乘法性，但滿足其他公理（線性、對合），因此與${\displaystyle x\mapsto x^{*}}$的*-代數非常相似。

由這映射固定的元素（即滿足${\displaystyle a=-a^{*}}$者）稱作斜埃爾米特的。

對帶復共軛的複數，實數是埃爾米特元素，虛數是斜埃爾米特元素。

另見

• C*-代數
• 劍標範疇
• 馮諾依曼代數
• 貝爾環
• 算子代數
• 共軛元素
• 凱萊-迪克森結構
• 合成代數

腳註

1. 這時，「對合」指對合反自同構，也稱作反對合。
2. 大多數定義不要求*-代數有乘法單位元，即*-代數可以只是*-偽環。

參考文獻

1. Weisstein, Eric W. C-Star Algebra. Wolfram MathWorld. 2015 [2023-12-27]. （原始內容存檔於2023-05-31）.
2. Baez, John. Octonions. Department of Mathematics. University of California, Riverside. 2015 [2015-01-27]. （原始內容存檔於2015-03-26）.
3. nLab的star-algebra條目
4. Winker, S. K.; Wos, L.; Lusk, E. L. Semigroups, Antiautomorphisms, and Involutions: A Computer Solution to an Open Problem, I. Mathematics of Computation. 1981, 37 (156): 533–545 [2023-12-27]. ISSN 0025-5718. doi:10.2307/2007445. （原始內容存檔於2023-06-13）.