埃倫費斯特定理

在量子力學裏，埃倫費斯特定理（Ehrenfest theorem）表明，量子算符的期望值對於時間的導數，跟這量子算符與哈密頓算符的對易算符，兩者之間的關係，以方程式表達為^[1]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle }$；

保羅·埃倫費斯特。

其中，${\displaystyle A}$ 是某個量子算符，${\displaystyle \langle A\rangle }$ 是它的期望值，${\displaystyle H}$ 是哈密頓算符，${\displaystyle t}$ 是時間，${\displaystyle \hbar }$ 是約化普朗克常數。

埃倫費斯特定理是因物理學家保羅·埃倫費斯特命名。在量子力學的海森堡繪景裏，埃倫費斯特定理非常顯而易見；取海森堡方程式的期望值，就可以得到埃倫費斯特定理。埃倫費斯特定理與哈密頓力學的劉維定理密切相關；劉維定理使用的卜瓦松括號，對應於埃倫費斯特定理的對易算符。實際上，從根據經驗法則，將對易算符換為卜瓦松括號乘以 ${\displaystyle i\hbar }$ ，再取 ${\displaystyle i\hbar }$ 趨向於 0 的極限，含有對易算符的量子定理就可以改變為含有卜瓦松括號的經典定理。

薛定諤繪景下的推導

假設，一個物理系統的量子態為 ${\displaystyle \Phi (x,\ t)}$ ，則算符 ${\displaystyle A}$ 的期望值對於時間的導數為

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle &={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi ~dx\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi ~dx+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx\\\end{aligned}}}$

薛定諤方程式表明哈密頓算符 ${\displaystyle H}$ 與時間 ${\displaystyle t}$ 的關係為

${\displaystyle H\Phi =i\hbar {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}}$ 。

其共軛為

${\displaystyle (H\Phi )^{*}=-i\hbar {\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}}$ 。

因為哈密頓算符是厄米算符，${\displaystyle H^{*}=H}$ ，所以，

${\displaystyle (H\Phi )^{*}=\Phi ^{*}H^{*}=\Phi ^{*}H}$ 。

將這三個方程式代入 ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle }$ 的方程式，則可得到

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~dx+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle }$ 。

所以，埃倫費斯特定理成立：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle }$ 。

有時算符 ${\displaystyle A}$ 不隨時間變化，則 ${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle }$ 等於零。

海森堡繪景下的推導

海森堡繪景下的推導更為直接。有海森堡運動方程式

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}A={\frac {\partial A}{\partial t}}+{\frac {1}{i\hbar }}[A,H]}$

直接取等式兩邊的算子的期望值可得

${\displaystyle \left\langle \Psi \left|{\frac {d}{dt}}A(t)\right|\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \left|{\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right|\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \left|{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H]\right|\Psi \right\rangle }$

等式左邊的態向量不含時，因此可以把 ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}}$ 一項移到狄拉克符號外，因此有

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A(t)\rangle =\left\langle {\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle [A(t),H]\right\rangle }$

實例

使用埃倫費斯特定理，可以簡易地證明，假若一個物理系統的哈密頓量顯性地不含時間，則這系統是保守系統。

從埃倫費斯特定理，可以計算任何算符的期望值對於時間的導數。特別而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道這些資料，就可以分析量子系統的運動行為。

守恆的哈密頓量

考慮哈密頓算符 ${\displaystyle H}$ ：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle H\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [H,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle }$ 。

假若，哈密頓量顯性地不含時間，${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial t}}=0}$ ，則

${\displaystyle \langle H\rangle =H_{0}}$ ，

哈密頓量是個常數${\displaystyle H_{0}}$ 。

位置的期望值對於時間的導數

試想一個質量為 ${\displaystyle m}$ 的粒子，移動於一維空間．其哈密頓量是

${\displaystyle H(x,\ p,\ t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,\ t)}$ ;

其中，${\displaystyle x}$ 為位置，${\displaystyle p}$ 是動量，${\displaystyle V}$ 是位勢。

應用埃倫費斯特定理，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,\ H]\rangle ={\frac {1}{i2m\hbar }}\langle [x,\ p^{2}]\rangle ={\frac {1}{i2m\hbar }}\langle xpp-ppx\rangle }$。

由於 ${\displaystyle xpp-ppx=i2\hbar p}$ ，位置的期望值對於時間的導數等於速度的期望值：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{m}}\langle p\rangle =\langle v\rangle }$。

這樣，可以得到動量 ${\displaystyle p}$ 的期望值。

動量的期望值對於時間的導數

應用埃倫費斯特定理，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle }$ 。

由於 ${\displaystyle p}$ 與自己互相交換，所以，${\displaystyle [p,\ p^{2}]=0}$ 。又在坐標空間裏，動量算符 ${\displaystyle p={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}}$ 不含時間：${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=0}$ 。所以，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,\ V]\rangle }$ 。

將卜瓦松括號展開，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V{\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(V\Phi \right)~dx}$ 。

使用乘法定則，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\left\langle -\ {\frac {\partial }{\partial x}}V\right\rangle =\langle F\rangle }$ 。

在量子力學裏，動量的期望值對於時間的導數，等於作用力 ${\displaystyle F}$ 的期望值。

經典極限

取經典極限^[2]，${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}}$ ，則可得到一組完全的量子運動方程式：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle v\rangle }$ ，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\ {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}}$ 。

這組量子運動方程式，精確地對應於經典力學的運動方程式：

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v}$ ，

${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-\ {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}}$ 。

取「經典極限」，量子力學的定律約化為經典力學的定律。這結果也時常被稱為埃倫費斯特定理。這經典極限是什麼呢？標記 ${\displaystyle V\,'(x)}$ 為 ${\displaystyle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}}$ 。設定 ${\displaystyle \langle x\rangle =x_{0}}$ 。泰勒展開 ${\displaystyle V\,'(x)}$ 於 ${\displaystyle x_{0}}$ ：

${\displaystyle V\,'(x)=V\,'(x_{0})+(x-x_{0})V\,''(x_{0})+{\frac {1}{2}}(x-x_{0})^{2}V\,'''(x_{0})+\ \dots }$ 。

由於 ${\displaystyle \langle x-x_{0}\rangle =0}$ ，${\displaystyle \langle (x-x_{0})^{2}\rangle =\sigma _{x}^{2}}$ ，

${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx V\,'(x_{0})+{\frac {1}{2}}\ \sigma _{x}^{2}\ V\,''(x_{0})}$ 。

這近似方程式右手邊的第二項目就是誤差項目。只要這誤差項目是可忽略的，就可以取經典極限。而這誤差項目的大小跟以下兩個因素有關：

1. 一個是量子態對於位置的不可確定性。
2. 另一個則是位勢隨着位置而變化的快緩。

參閱

• 維里定理

參考文獻

1. Smith, Henrik. Introduction to Quantum Mechanics. World Scientific Pub Co Inc. 1991: pp. 108–109. ISBN 978-9810204754. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
2. Tannor, David J. Introduction to Quantum Mechanics: A Time-Dependent Perspective. University Science Books. 2006: pp. 35–38. ISBN 978-1891389238. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)