在數學、尤其是泛函分析中,向量空間 上的自伴算子是一類特殊的線性算子(自同態),其伴隨算子是其自身。根據不同的需要,可以討論 為拓撲向量空間、賦範向量空間、巴拿赫空間乃至希爾伯特空間的情況,使得伴隨算子、自伴算子可以具有更豐富的性質,一個重要的例子是希爾伯特空間上自伴算子的譜定理。
若 是具有規範正交基的有限維複向量空間,其上自伴算子在該基下的矩陣是埃爾米特矩陣——該矩陣等於自身的共軛轉置。有限維的譜定理表明,對於一個算子 ,總能找到 上的規範正交基使得 在該基下的矩陣是一個對角矩陣,且這些對角元都是實數。
無窮維希爾伯特空間上的自伴算子的譜定理與此類似:一個算子是自伴的,當且僅當其酉等價於一個實值乘法算子。不過,黑林格-特普利茨定理表明了定義於全空間的自伴算子必然是有界的,從而無界算子至多只能定義在全空間的一個稠密子空間上,故對於無界算子須對定義域的問題多加注意。定義域的問題造成了對稱算子和自伴算子的區分,而這區分對於譜定理等結論而言是至關重要的。
自伴算子在量子力學中也有重要地位。在量子力學公理的狄拉克-馮紐曼表述中,位置、動量、角動量和自旋等物理可觀測量是由希爾伯特空間上的自伴算子表示。在哈密頓算子的譜(能階)具有重要的物理意義的同時,哈密頓算子中的動能項通常由導數算子構成,而無窮維空間中的導數算子是典型的無界算子。
量子力學
在量子力學裏,自伴算子,又稱為自伴算符,或厄米算符(Hermitian operator),是一種等於自己的厄米共軛的算符。給予算符和其伴隨算符,假設 ,則稱為厄米算符。厄米算符的期望值可以表示量子力學中的物理量。
由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以,可觀察量的期望值是實值的:
- 。
對於任意量子態,這關係都成立;
- 。
根據伴隨算符的定義,假設是的伴隨算符,則。因此,
- 。
這正是厄米算符的定義。所以,表示可觀察量的算符,都是厄米算符。
可觀察量,像位置,動量,角動量,和自旋,都是用作用於希爾伯特空間的自伴算符來代表。哈密頓算符是一個很重要的自伴算符,表達為
- ;
動量是一個可觀察量,動量算符應該也是厄米算符:選擇位置空間,量子態的波函數為,
- 。
對於任意量子態,。所以,動量算符確實是一個厄米算符。
參考文獻
- Rudin, Walter. Functional Analysis. Boston, Mass.: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. 1991. ISBN 978-0-07-054236-5.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topological vector spaces. Monographs and textbooks in pure and applied mathematics 2. ed. Boca Raton: CRC Press. 2011. ISBN 978-1-58488-866-6.
- Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 96–106. ISBN 0-13-111892-7.
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