自伴算子

在數學、尤其是泛函分析中，向量空間 ${\displaystyle V}$ 上的自伴算子是一類特殊的線性算子（自同態），其伴隨算子是其自身。根據不同的需要，可以討論 ${\displaystyle V}$ 為拓撲向量空間、賦範向量空間、巴拿赫空間乃至希爾伯特空間的情況，使得伴隨算子、自伴算子可以具有更豐富的性質，一個重要的例子是希爾伯特空間上自伴算子的譜定理。

若 ${\displaystyle V}$ 是具有規範正交基的有限維複向量空間，其上自伴算子在該基下的矩陣是埃爾米特矩陣——該矩陣等於自身的共軛轉置。有限維的譜定理表明，對於一個算子 ${\displaystyle A}$ ，總能找到 ${\displaystyle V}$ 上的規範正交基使得 ${\displaystyle A}$ 在該基下的矩陣是一個對角矩陣，且這些對角元都是實數。

無窮維希爾伯特空間上的自伴算子的譜定理與此類似：一個算子是自伴的，當且僅當其酉等價於一個實值乘法算子。不過，黑林格-特普利茨定理表明了定義於全空間的自伴算子必然是有界的，從而無界算子至多只能定義在全空間的一個稠密子空間上，故對於無界算子須對定義域的問題多加注意。定義域的問題造成了對稱算子和自伴算子的區分，而這區分對於譜定理等結論而言是至關重要的。

自伴算子在量子力學中也有重要地位。在量子力學公理的狄拉克-馮紐曼表述（英語：Dirac–von Neumann axioms）中，位置、動量、角動量和自旋等物理可觀測量是由希爾伯特空間上的自伴算子表示。在哈密頓算子的譜（能階）具有重要的物理意義的同時，哈密頓算子中的動能項通常由導數算子構成，而無窮維空間中的導數算子是典型的無界算子。

量子力學

在量子力學裏，自伴算子，又稱為自伴算符，或厄米算符（Hermitian operator），是一種等於自己的厄米共軛的算符。給予算符${\displaystyle {\hat {O}}\,\!}$和其伴隨算符${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }\,\!}$，假設${\displaystyle {\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }\,\!}$ ，則稱${\displaystyle {\hat {O}}\,\!}$為厄米算符。厄米算符的期望值可以表示量子力學中的物理量。

可觀察量

由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量${\displaystyle O\,\!}$的期望值是實值的：

${\displaystyle \langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}\,\!}$。

對於任意量子態${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$，這關係都成立；

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}\,\!}$。

根據伴隨算符的定義，假設${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }\,\!}$是${\displaystyle {\hat {O}}\,\!}$的伴隨算符，則${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle \,\!}$。因此，

${\displaystyle {\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }\,\!}$。

這正是厄米算符的定義。所以，表示可觀察量的算符${\displaystyle {\hat {O}}\,\!}$，都是厄米算符。

可觀察量，像位置，動量，角動量，和自旋，都是用作用於希爾伯特空間的自伴算符來代表。哈密頓算符${\displaystyle {\hat {H}}\,\!}$是一個很重要的自伴算符，表達為

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi \,\!}$；

其中，${\displaystyle \psi \,\!}$是粒子的波函數，${\displaystyle \hbar \,\!}$是約化普朗克常數，${\displaystyle m\,\!}$是質量，${\displaystyle V\,\!}$是位勢。

哈密頓算符所代表的哈密頓量是粒子的總能量，一個可觀察量。

動量是一個可觀察量，動量算符應該也是厄米算符：選擇位置空間，量子態${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$的波函數為${\displaystyle \psi (x)\,\!}$，

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\ dx=\left.{\frac {\hbar }{i}}\psi ^{*}\psi \right|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)^{*}\psi \ dx=\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {p}}^{\dagger }|\psi \rangle \,\!}$。

對於任意量子態${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$，${\displaystyle {\hat {p}}={\hat {p}}^{\dagger }\,\!}$。所以，動量算符確實是一個厄米算符。

參考文獻

• Rudin, Walter. Functional Analysis. Boston, Mass.: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. 1991. ISBN 978-0-07-054236-5.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topological vector spaces. Monographs and textbooks in pure and applied mathematics 2. ed. Boca Raton: CRC Press. 2011. ISBN 978-1-58488-866-6. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 96–106. ISBN 0-13-111892-7. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)