海森堡繪景

海森堡繪景（Heisenberg picture）是量子力學的一種表述，因物理學者維爾納·海森堡而命名。在海森堡繪景裏，對應於可觀察量的算符會隨着時間流易而演化，而描述量子系統的態向量則與時間無關。使用海森堡繪景，可以很容易地觀察到量子系統與經典系統之間的動力學關係。^{[1]:第2章第25頁}

維爾納·海森堡

海森堡繪景與薛定諤繪景、狄拉克繪景不同。在薛定諤繪景裏，描述量子系統的態向量隨着時間流易而演化，而像位置、動量一類的對應於可觀察量的算符則不會隨着時間流易而演化。^{[註 1]}在狄拉克繪景裏，態向量與對應於可觀察量的算符都會隨着時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。^{[2]:80-84[3][4]}

概述

為了便利分析，位於下標的符號${\displaystyle {}_{\mathcal {H}}}$、${\displaystyle {}_{\mathcal {S}}}$分別標記海森堡繪景、薛定諤繪景。

在量子力學的海森堡繪景裏，態向量${\displaystyle |\psi \rangle _{\mathcal {H}}}$不含時，而可觀察量的算符${\displaystyle A_{\mathcal {H}}}$則含時，並且滿足「海森堡運動方程式」：^[2]:80-84

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {t}}}A_{\mathcal {H}}={1 \over i\hbar }[A_{\mathcal {H}},\,H]}$；

其中，${\displaystyle \hbar }$是約化普朗克常數，${\displaystyle H}$是哈密頓量，${\displaystyle [A_{\mathcal {H}},\,H]}$是${\displaystyle A_{\mathcal {H}}}$與${\displaystyle H}$的對易算符。

從某種角度來看，海森堡繪景比薛定諤繪景顯得更為自然，更具有基礎性，因為，經典力學分析物體運動所使用的物理量是可觀察量，例如，位置、動量等等，而海森堡繪景專注的就是這些可觀察量隨着時間流易的演化。進一步來看，海森堡繪景表述的量子力學與經典力學的相似可以很容易的觀察到：只要將對易算符改為帕松括號，海森堡方程式立刻就變成了哈密頓力學裏的運動方程式，其形式表示為^[5]:396-397

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {t}}}A=[A,\,H]_{Poisson}}$；

其中，${\displaystyle [\ ,\,\ ]_{Poisson}}$是帕松括號。

通過狄拉克量子化條件（英語：canonical quantization），可以從哈密頓力學的運動方程式得到海森堡運動方程式：

${\displaystyle [\ ,\,\ ]_{Poisson}\ \to \ {\frac {[\ ,\,\ ]}{i\hbar }}}$。

史東-馮紐曼理論（英語：Stone-von Neumann theorem）證明海森堡繪景與薛定諤繪景是等價的。

理論導引

在薛定諤繪景裏，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從${\displaystyle 0}$流易到${\displaystyle t}$，而經過這段時間間隔，態向量${\displaystyle |\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}}$演化為${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}}$，這時間演化過程以方程式表示為

${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}=U(t,0)|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}}$；

其中，${\displaystyle U(t,0)}$是時間從${\displaystyle 0}$流易到${\displaystyle t}$的時間演化算符。

時間演化算符是么正算符^{[註 2]}：

${\displaystyle U(t,0)U^{\dagger }(t,0)=1=U^{\dagger }(t,0)U(t,0)}$。

假設系統的哈密頓量${\displaystyle H}$不含時，則時間演化算符為^{[2]:69-71[註 3]}

${\displaystyle U(t,0)=e^{-iHt/\hbar }}$，

而且，時間演化算符與哈密頓量相互對易：^{[註 4]}

${\displaystyle HU(t,0)=U(t,0)H}$。

注意到指數函數${\displaystyle e^{-iHt/\hbar }}$必須通過其泰勒級數計算。

在海森堡繪景裏，態向量${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}}$、算符${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)}$分別定義為

${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}{\stackrel {def}{=}}|\psi (0)\rangle _{\mathcal {H}}=|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}}$、

${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t){\stackrel {def}{=}}U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}U(t,0)}$。

由於${\displaystyle U(t,0)}$、${\displaystyle U^{\dagger }(t,0)}$對於時間的偏導數分別為

${\displaystyle {\frac {\partial U(t,0)}{\partial t}}={1 \over i\hbar }HU(t,0)}$、

${\displaystyle {\frac {\partial U^{\dagger }(t,0)}{\partial t}}=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }(t,0)H}$。

所以，算符${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)}$對於時間的導數是^{[註 5]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dt}A_{\mathcal {H}}(t)&={\frac {\partial U^{\dagger }(t,0)}{\partial t}}A_{\mathcal {S}}U(t,0)+U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}{\frac {\partial U(t,0)}{\partial t}}\\&=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }HA_{\mathcal {S}}U+{1 \over i\hbar }U^{\dagger }A_{\mathcal {S}}HU\\&=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }HUU^{\dagger }A_{\mathcal {S}}U+{1 \over i\hbar }U^{\dagger }A_{\mathcal {S}}UU^{\dagger }HU\\&={1 \over i\hbar }[U^{\dagger }A_{\mathcal {S}}U,U^{\dagger }HU]\\\end{aligned}}}$。

由於不含時哈密頓量在海森堡繪景的形式與在薛定諤繪景相同，可以忽略下標：^{[註 6]}

${\displaystyle H_{\mathcal {H}}=U^{\dagger }H_{\mathcal {S}}U=H_{\mathcal {S}}=H}$。

將算符的定義式納入考量，就可以得到海森堡運動方程式：

${\displaystyle {d \over dt}A_{\mathcal {H}}(t)={1 \over i\hbar }[A_{\mathcal {H}}(t),H]}$。

期望值

在薛定諤繪景裏，可觀察量${\displaystyle A}$的期望值為^[2]:81

${\displaystyle \langle A\rangle _{\mathcal {S}}={}_{\mathcal {S}}\langle \psi (t)|A_{\mathcal {S}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}={}_{\mathcal {S}}\langle \psi (0)|U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}U(t,0)|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}}$。

在海森堡繪景裏，可觀察量${\displaystyle A}$的期望值為

${\displaystyle \langle A\rangle _{\mathcal {H}}={}_{\mathcal {H}}\langle \psi (t)|A_{\mathcal {H}}(t)|\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}={}_{\mathcal {H}}\langle \psi (0)|A_{\mathcal {H}}(t)|\psi (0)\rangle _{\mathcal {H}}}$。

注意到態向量${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}}$、算符${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)}$的定義式：

${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}{\stackrel {def}{=}}|\psi (0)\rangle _{\mathcal {H}}=|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}}$、

${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t){\stackrel {def}{=}}U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}U(t,0)}$。

所以，這兩種期望值的表述方式等價。

貝克-豪斯多夫引理

算符${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)}$的定義式涉及到指數函數${\displaystyle e^{-iHt/\hbar }}$，必須通過其泰勒級數計算，這是個很繁雜的過程，可以利用貝克-豪斯多夫引理（英語：Baker-Hausdorff lemma）來計算^[2]:95

${\displaystyle {e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots }$。

對於算符${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)}$，可以得到

${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)=A_{\mathcal {H}}(0)+{\frac {it}{\hbar }}[H,A_{\mathcal {H}}(0)]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,A_{\mathcal {H}}(0)]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,A_{\mathcal {H}}(0)]]]+\cdots }$。

由於帕松括號與對易算符的關係，在哈密頓力學裏，這方程式也成立。

自由粒子範例

本節運算只涉及海森堡繪景，為了簡便起見，忽略下標${\displaystyle {\mathcal {H}}}$。設想自由粒子系統，其哈密頓量為^[2]:85-86

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}}$。

動量${\displaystyle p}$的海森堡運動方程式為

${\displaystyle {d \over dt}p(t)={1 \over i\hbar }[p,H]=0}$。

這是因為${\displaystyle p}$與${\displaystyle H}$對易。所以，動量${\displaystyle p}$是個常數：

${\displaystyle p(t)=p(0)}$。

位置${\displaystyle x}$的海森堡運動方程式為

${\displaystyle {d \over dt}x(t)={1 \over i\hbar }[x,H]={\frac {p}{m}}}$。

所以，位置與時間的關係式為

${\displaystyle x(t)=x(0)+{\frac {p(0)}{m}}t}$。

換另一種方法，算符隨着時間流易而演化的方程式為

${\displaystyle x(t)=e^{iHt/\hbar }x(0)e^{-iHt/\hbar }}$。

利用貝克-豪斯多夫引理（英語：Baker-Hausdorff lemma），

${\displaystyle x(t)=x(0)+{\frac {it}{\hbar }}[H,x(0)]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,x(0)]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,x(0)]]]+\cdots }$。

注意到以下兩個對易關係式：

${\displaystyle [H,x(0)]={\frac {-i\hbar p(0)}{m}}}$、

${\displaystyle [H,p(0)]=0}$。

將這兩個對易關係式代入，可以得到同樣的位置與時間的關係式：

${\displaystyle x(t)=x(0)+{\frac {p(0)}{m}}t}$。

注意到位置在不同時間的對易子不等於零：

${\displaystyle [x(t),x(0)]=\left[{\frac {p(0)t}{m}},x(0)\right]={\frac {-i\hbar t}{m}}}$。

諧振子範例

本節運算只涉及海森堡繪景，為了簡便起見，忽略下標${\displaystyle {\mathcal {H}}}$。設想諧振子系統，其哈密頓量為^{[2]:89, 94-97}

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}}$；

其中，${\displaystyle \omega }$為諧振子頻率。

動量算符${\displaystyle p}$、位置算符${\displaystyle x}$的海森堡運動方程式分別為

${\displaystyle {d \over dt}p(t)={1 \over i\hbar }[p(t),H]=-m\omega ^{2}x(t)}$、

${\displaystyle {d \over dt}x(t)={1 \over i\hbar }[x(t),H]={\frac {p(t)}{m}}}$。

再求這兩個方程式對於時間的導數，

${\displaystyle {d^{2} \over dt^{2}}p(t)={-m\omega ^{2} \over i\hbar }[x(t),H]=-\omega ^{2}p(t)}$、

${\displaystyle {d^{2} \over dt^{2}}x(t)={1 \over im\hbar }[p(t),H]=-\omega ^{2}x(t)}$。

設定動量算符、位置算符的初始條件分別為

${\displaystyle p(0)=p_{0}}$、

${\displaystyle x(0)=x_{0}}$。

則在初始時間，

${\displaystyle {\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0}}$、

${\displaystyle {\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}}}$。

所以，二次微分方程式的解答分別是

${\displaystyle p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega \!x_{0}\sin(\omega t)}$、

${\displaystyle x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{m\omega }}\sin(\omega t)}$。

稍加運算，可以得到海森堡繪景裏的對易關係：

${\displaystyle [p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$、

${\displaystyle [x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$、

${\displaystyle [x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$。

假若${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$，則立刻會得到熟悉的正則對易關係。

換另一種方法，算符隨着時間流易而演化的方程式為

${\displaystyle x(t)=e^{iHt/\hbar }x(0)e^{-iHt/\hbar }}$。

利用貝克-豪斯多夫引理（英語：Baker-Hausdorff lemma），

${\displaystyle x(t)=x(0)+{\frac {it}{\hbar }}[H,x(0)]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,x(0)]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,x(0)]]]+\cdots }$。

注意到以下兩個對易關係式：

${\displaystyle [H,x(0)]={\frac {-i\hbar p(0)}{m}}}$、

${\displaystyle [H,p(0)]=i\hbar m\omega ^{2}x(0)}$。

將這兩個對易關係式代入，可以得到同樣的位置與時間的關係式：

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=x(0)+{\frac {p(0)}{m\omega }}\omega t-x(0){\frac {\omega ^{2}t^{2}}{2!}}-{\frac {p(0)}{m\omega }}{\frac {\omega ^{3}t^{3}}{3!}}+\cdots \\&=x(0)\cos(\omega t)+{\frac {p(0)}{m\omega }}\sin(\omega t)\\\end{aligned}}}$。

類似地,也可以得到同樣的動量與時間的關係式。

各種繪景比較摘要

各種繪景隨着時間流易會呈現出不同的演化：^{[2]:86-89, 337-339}

演化	海森堡繪景	相互作用繪景	薛定諤繪景
括量	常定	${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}=e^{iH_{0}t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}}$	${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}=e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}}$
可觀察量	${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)=e^{iHt/\hbar }A_{\mathcal {S}}e^{-iHt/\hbar }}$	${\displaystyle A_{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }A_{\mathcal {S}}e^{-iH_{0}t/\hbar }}$	常定
密度算符	常定	${\displaystyle \rho _{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0}/\hbar }}$	${\displaystyle \rho _{\mathcal {S}}(t)=e^{-iHt/\hbar }\rho _{\mathcal {S}}(0)e^{iHt/\hbar }}$

註釋

1. 在薛定諤繪景裏，假若位能與時間有關，${\displaystyle V=V(t)}$，則哈密頓算符${\displaystyle H={\frac {P^{2}}{2m}}+V(t)}$也與時間有關。
2. 當${\displaystyle U(t,0)}$是無窮維矩陣時， ${\displaystyle U(t,0)U^{\dagger }(t,0)}$與${\displaystyle U^{\dagger }(t,0)U(t,0)}$未必相等；甚至${\displaystyle U(t,0)}$ 的行列指標可以分別是可數無窮維與連續不可數無窮維。
3. 在薛定諤繪景裏，假若哈密頓算符含時，${\displaystyle H_{\mathcal {S}}=H_{\mathcal {S}}(t)}$，則時間演化算符會比較複雜。更詳盡內容，請查閱條目時間演化算符
4. 處於不同時間${\displaystyle t_{1}}$、${\displaystyle t_{2}}$的哈密頓算符${\displaystyle H(t_{1})}$、${\displaystyle H(t_{2})}$可能會不相互對易：

   ${\displaystyle [H(t_{1}),H(t_{2})]\neq [H(t_{2}),H(t_{1})]}$。

   對於這案例，時間演化算符必須用戴森級數（英語：Dyson series）來表示，時間演化算符與哈密頓算符也會不相互對易。^[2]:69-71
5. 假若算符${\displaystyle A_{\mathcal {S}}}$含時：

   ${\displaystyle A_{\mathcal {S}}=A_{\mathcal {S}}(t)}$，

   則算符${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)}$對於時間的導數是

   ${\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dt}A_{\mathcal {H}}(t)&={\frac {\partial U^{\dagger }(t,0)}{\partial t}}A_{\mathcal {S}}U(t,0)+U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}{\frac {\partial U(t,0)}{\partial t}}+U^{\dagger }(t,0){\frac {\partial A_{\mathcal {S}}}{\partial t}}U(t,0)\\&={1 \over i\hbar }[U^{\dagger }A_{\mathcal {S}}U,U^{\dagger }HU]+U^{\dagger }(t,0){\frac {\partial A_{\mathcal {S}}}{\partial t}}U(t,0)\\\end{aligned}}}$。

6. 假若處於不同時間${\displaystyle t_{1}}$、${\displaystyle t_{2}}$的哈密頓算符${\displaystyle H(t_{1})}$、${\displaystyle H(t_{2})}$不相互對易：

   ${\displaystyle [H(t_{1}),H(t_{2})]\neq [H(t_{2}),H(t_{1})]}$。

   則哈密頓量在兩種繪景裏的形式可能不相同。^[2]:69-71

參考文獻

1. Robert D. Klauber. Student Friendly Quantum Field Theory: Basic Principles and Quantum Electrodynamics (PDF). Sandtrove Press. 2013 [2015-12-13]. ISBN 978-0-9845139-3-2. （原始內容存檔 (PDF)於2015-12-22）.
2. Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914
3. Parker, C.B. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics 2nd. Mc Graw Hill. 1994: 786, 1261. ISBN 0-07-051400-3.
4. Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur, E. Hecht. Quantum mechanics. Schuam's outline series 2nd. McGraw Hill. 2010: 70. ISBN 9-780071-623582.
5. Goldstein, Herbert, Classical Mechanics 3rd, United States of America: Addison Wesley, 1980, ISBN 0201657023 （英語）

延伸閱讀

• Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu, Frank Laloe. Quantum Mechanics (Volume One). Paris: Wiley. 1977: 312–314. ISBN 047116433X. 引文使用過時參數coauthors (幫助)

參閱

• 狄拉克標記