函數域

在代數幾何中，一個整概形 ${\displaystyle X}$ 的函數域 ${\displaystyle K_{X}}$ 由 ${\displaystyle X}$ 上的有理函數組成；對於一般的概形，相應的對象是有理函數層。雙有理幾何研究的便是由 ${\displaystyle K_{X}}$ 所決定的幾何性質。

整概形的情形

定義

若 ${\displaystyle X}$ 是仿射整概形，${\displaystyle U\subset X}$ 為開集，則定義 ${\displaystyle K_{X}(U)}$ 為 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ 的分式域。此時 ${\displaystyle K_{X}}$ 是 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(X)}$ 的分式域的常數層。

若 ${\displaystyle X}$ 是整概形，而非仿射概形，則任何非空仿射開集都稠密。對任何開集 ${\displaystyle U\subset X}$，可以一致地定義 ${\displaystyle K_{X}(U):=K_{V}(U\cap V)}$，其中 ${\displaystyle V}$ 是任一非空仿射開集；這仍然是對應到一個域的常數層，該域稱之為 ${\displaystyle X}$ 的函數域。另一種等價定義是 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ 在一般點的莖。

函數域與維度

設 ${\displaystyle k}$ 為域，${\displaystyle X}$ 為不可約 ${\displaystyle k}$-代數簇，則 ${\displaystyle K_{X}}$ 是 ${\displaystyle k}$ 的域擴張，有時也寫作 ${\displaystyle k(X)}$。此擴張的超越次數等於 ${\displaystyle \dim X}$，此命題可以化約到仿射簇的情形，再以諾特正規化引理證明。

例子

• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 的函數域是 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$。

以下設 ${\displaystyle k}$ 為域。

• 單點 ${\displaystyle \mathrm {Spec} (k)}$ 的函數域是 ${\displaystyle k}$ 本身。
• 仿射直線 ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{1}}$ 與射影直線 ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$ 的函數域都是 ${\displaystyle k(t)}$，其中 ${\displaystyle t}$ 是 ${\displaystyle k}$ 上的超越元。
• 考慮平面曲線 ${\displaystyle y^{2}=x^{5}+1}$，其函數域是 ${\displaystyle k(x,y)}$，其中 ${\displaystyle x,y}$ 是 ${\displaystyle k}$ 上滿足 ${\displaystyle y^{2}=x^{5}+1}$ 的超越元；一般代數曲線的函數域可以依此類推。當 ${\displaystyle k}$ 為有限域時，${\displaystyle k}$-代數曲線的函數域與數域之間有深刻的類比。

一般概形的情形

當 ${\displaystyle X}$ 不是整概形時，${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ 在開集上的截面可能有零因子，此時分式域並不存在（詳見 Kleiman 的文章）。正解如下：

對任一開集 ${\displaystyle U\subset X}$，令 ${\displaystyle S_{U}}$ 為 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ 中的非零因子集，這是一個積性集。命 ${\displaystyle K_{X}^{p}(U):=S_{U}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}(U)}$（即 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ 的全分式環）。${\displaystyle K_{X}^{p}}$ 構成 ${\displaystyle X}$ 上的預層。令 ${\displaystyle K_{X}}$ 為其層化，此即 ${\displaystyle X}$ 的有理函數層，它是 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-代數構成的層。

若 ${\displaystyle X}$ 局部上可以分解成有限個整概形 ${\displaystyle X=\bigcup X_{i}}$（這對局部諾特概形皆成立），則對任何開集 ${\displaystyle U}$ 有

${\displaystyle K_{X}(U)=\bigoplus _{X_{i}\cap U\neq \emptyset }K_{X_{i}}}$

此時 ${\displaystyle K_{X}}$ 是 ${\displaystyle X}$ 上的擬凝聚層。

與亞純函數域的關係

在複代數幾何中，基本的對象是不可約複解析簇，其上能局部地開展複分析，由此可以定義複解析簇上的亞純函數；亞純函數域是該簇上的亞純函數之集合。在不可約 ${\displaystyle \mathbb {C} }$-代數簇上，有理函數必為亞純函數，反之則不然（考慮 ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}$）；若加上緊緻條件，則可證明此時亞純函數域確等於有理函數域。

文獻

• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 （法語）. 引文使用過時參數coauthors (幫助) 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Kleiman, S., "Misconceptions about K_X", Enseign. Math. 25 (1979), 203-206