超越次數

在抽象代數中，一個域擴張 ${\displaystyle L/K}$ 的超越次數是 ${\displaystyle L}$ 中在 ${\displaystyle K}$ 上代數獨立子集的極大基數。

定義

域擴張 ${\displaystyle L/K}$ 的一組超越基是子集 ${\displaystyle S\subset L}$，使得 ${\displaystyle S}$ 在 ${\displaystyle K}$ 上代數獨立，而且 ${\displaystyle L/K(S)}$ 是代數擴張。可證明超越基存在，而任兩組超越基的基數皆相同，由此可定義超越次數為超越基底的基數。

例子

• 域擴張是代數擴張的充要條件是其超越次數為零。
• 有理函數域 ${\displaystyle k(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ 對 ${\displaystyle k}$ 的超越次數為 ${\displaystyle n}$。
• 對於代數簇的函數域，其超越次數等於代數簇的維度。
• ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} }$ 的超越次數是連續統；另一方面，${\displaystyle \mathbb {C} }$ 代數封閉，因此任何特徵為零的有限生成域都能嵌入 ${\displaystyle \mathbb {C} }$。

與向量空間維度的類比

域與向量空間有下述類比：代數獨立集對應到線性獨立集、超越基對應到基、超越次數對應到維度。證明基的基數唯一時，兩方面都用到基的「交換引理」。任意域上超越基的存在性依賴於選擇公理，向量空間的基底亦同。在模型論中，這兩者可以統一於預幾何的框架下。

性質

若 ${\displaystyle L/K}$、${\displaystyle M/L}$ 為域擴張，則 ${\displaystyle M/K}$ 的超越次數為 ${\displaystyle M/L}$ 與 ${\displaystyle L/K}$ 的超越次數相加，此點可藉由取超越基的聯集證之。