凱萊定理

在群論中，凱萊定理（英語：Cayley's Theorem）聲稱所有群 ${\displaystyle G}$ 都與在 ${\displaystyle G}$ 上的對稱群 ${\displaystyle S_{G}}$ 的一個子群同構。這代表我們可以將 ${\displaystyle G}$ 的群運算視為在 ${\displaystyle G}$ 的元素上的群作用。該定理以英國數學家阿瑟·凱萊命名。

集合 ${\displaystyle G}$ 的置換是任何從 ${\displaystyle G}$ 到 ${\displaystyle G}$ 的對射函數。由所有置合構成集合與函數複合共同構成了一個群，稱為「 ${\displaystyle G}$ 上的對稱群」，並記為 ${\displaystyle {\text{Sym}}(G)}$。

凱萊定理通過把任何群（包括無限群，如 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$）都當作某個底層集合的置換群，把所有群都放在了同一個根基上。因此，對置換群成立的定理對於一般群也成立。

歷史

Burnside^[1] 將其歸功於Jordan^[2]，但是 Eric Nummela^[3]爭論說這個定理的名字「凱萊定理」事實上是合適的。凱萊在他最初介紹群概念的1854年論文^[4]中證明了定理中的對應是一一對應，但是沒能明確的證明它是同態(因此是同構)。但是，Nummela提示大家注意凱萊讓當時的數學界知道了這個結果，因此比Jordan要提前了16年。

定理的證明

令 ${\displaystyle G}$ 為一個群，由反元素的唯一性可以得出對於任何 ${\displaystyle G}$ 中元素 ${\displaystyle g}$ ，有 ${\displaystyle g\cdot G=G}$ ，以及 ${\displaystyle gx=gy\iff x=y}$ 其中 ${\displaystyle \iff }$ 是邏輯關係當且僅當的記號。所以左乘 ${\displaystyle g}$ 充當了對射函數 ${\displaystyle f_{g}:G\rightarrow G}$ ，其定義為 ${\displaystyle f_{g}(x)=g\cdot x}$。所以， ${\displaystyle f_{g}}$ 是 ${\displaystyle G}$ 的置換，並因此是 ${\displaystyle {\text{Sym}}(G)}$ 的一個元素。

如下定義 ${\displaystyle {\text{Sym}}(G)}$ 的子集 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K=\{f_{g}\mid g\in G;}$ 並且對所有${\displaystyle x\in G}$ 有 ${\displaystyle f_{g}(x)=g\cdot x\}}$

${\displaystyle K}$ 是同構於 ${\displaystyle G}$ 的一個子群。得出這個結果的最快方式是考慮函數 ${\displaystyle T:G\rightarrow {\text{Sym}}(G)}$ ， ${\displaystyle T(g)=f_{g}}$ 。(對 ${\displaystyle {\text{Sym}}(G)}$ 中的複合使用"·")， ${\displaystyle T}$ 是一個群同態，這是因為所有 ${\displaystyle G}$ 中的 ${\displaystyle x}$ ，有

${\displaystyle (f_{g}\cdot f_{h})(x)=f_{g}(f_{h}(x))=f_{g}(h\cdot x)=g\cdot (h\cdot x)=(g\cdot h)\cdot x=f_{g\cdot h}(x)}$

${\displaystyle T(g)\cdot T(h)=f_{g}\cdot f_{h}=f_{g\cdot h}=T(g\cdot h)}$

同態 ${\displaystyle T}$ 也是一個單射，因為 ${\displaystyle T(g)=id_{G}}$ （${\displaystyle {\text{Sym}}(G)}$ 中的單位元素）蘊含了對於所有 ${\displaystyle G}$ 中使得 ${\displaystyle g\cdot x=x}$ 的 ${\displaystyle x}$ 。選取x為G的單位元素e產生g = g*e = e。

另一個 ${\displaystyle T}$ 為單射的證明是因為可以從 ${\displaystyle g\cdot x=g\cdot x'}$ 推出 ${\displaystyle x=x'}$ 。

因此 ${\displaystyle G}$ 同構於 ${\displaystyle T}$ 的像，即子群 ${\displaystyle K}$ 。

${\displaystyle T}$ 有時叫做 ${\displaystyle G}$ 的正規表示。

另一個的證明

另一個證明使用了群作用的概念。考慮群${\displaystyle G}$為G-集合，可以證明它有置換表示${\displaystyle \phi }$。

首先假設${\displaystyle G=G/H}$帶有${\displaystyle H=\{e\}}$。則根據G-軌道分類這個群作用是${\displaystyle g.e}$（也叫做軌道-穩定集定理）。

現在這個表示是忠實的，如果${\displaystyle \phi }$是單射，就是說，如果${\displaystyle \phi }$的核是平凡的。假設${\displaystyle g}$ ∈ ker ${\displaystyle \phi }$，則${\displaystyle g=g.e=\phi (g).e}$，通過置換表示和群作用的等價性。但是因為${\displaystyle g}$ ∈ ker ${\displaystyle \phi }$, ${\displaystyle \phi (g)=e}$並因此ker ${\displaystyle \phi }$是平凡的。則im ${\displaystyle \phi <G}$並因此利用第一同構定理得出結論。

對正規群表示的注記

單位元素對應於恆等置換。所有其他的群元素對應於不留下任何元素不變的置換。會因為這也適用於群元素的冪，小於這個元素的階，每個元素對應於由相同長度的環構成的置換：這個長度是這個元素的階。在每個環中的元素形成了這個元素生成的子群的左陪集。

正規群表示的例子

Z₂ = {0,1}帶有模2加法，群元素0對應於恆等置換e，群元素1對應於置換 (12)。

Z₃ = {0,1,2}帶有模3加法；群元素0對應於恆等置換e，群元素1對應於置換 (123)，而群元素2對應於置換 (132)。比如1 + 1 = 2對應於 (123)(123)=(132)。

Z₄ = {0,1,2,3}帶有模4加法；它的元素對應於e, (1234), (13)(24), (1432)。

克萊因四元群{e, a, b, c}的元素對應於e, (12)(34), (13)(24)和 (14)(23)。

S₃（6階二面體群）是三個對象的所有置換的群，但也是6個群元素的置換群：

*	e	a	b	c	d	f	置換
e	e	a	b	c	d	f	e
a	a	e	d	f	b	c	(12)(35)(46)
b	b	f	e	d	c	a	(13)(26)(45)
c	c	d	f	e	a	b	(14)(25)(36)
d	d	c	a	b	f	e	(156)(243)
f	f	b	c	a	e	d	(165)(234)

引用

1. Burnside, William, Theory of Groups of Finite Order 2, Cambridge, 1911
2. Jordan, Camille, Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris: Gauther-Villars, 1870
3. Nummela, Eric, Cayley's Theorem for Topological Groups, American Mathematical Monthly, 1980, 87 (3): 202–203
4. Cayley, Arthur, On the theory of groups as depending on the symbolic equation θⁿ=1, Phil. Mag., 1854, 7 (4): 40–47

參見

• 米田引理