陪集

數學中，特別是群論中，群${\displaystyle G}$的子群${\displaystyle H}$能夠將${\displaystyle G}$中的元素劃分為若干個互不相交的子集，這些子集稱為${\displaystyle H}$的陪集（英語：Coset）。陪集中又有左陪集和右陪集。${\displaystyle H}$的陪集（不分左右）的大小與${\displaystyle H}$的相等。${\displaystyle H}$同時是自身的左陪集和右陪集。左陪集的數量與右陪集的數量相等。子群${\displaystyle H}$陪集的個數稱為${\displaystyle H}$在${\displaystyle G}$中的指數，記為${\displaystyle [G:H]}$。

陪集是研究群的基本工具。如在拉格朗日定理中，利用子群的概念證明了有限群${\displaystyle G}$中每一個子群的元素個數整除${\displaystyle G}$的元素個數。對特定的子群（正規子群），它的陪集可以作為另一個群的元素存在，衍生出商群的概念。

定義

若${\displaystyle G}$為一個群，${\displaystyle g}$為${\displaystyle G}$中元素，則

${\displaystyle gH=\{gh|h\in H\}}$為${\displaystyle H}$在${\displaystyle G}$中的左陪集，

${\displaystyle Hg=\{hg|h\in H\}}$為${\displaystyle H}$在${\displaystyle G}$中的右陪集。

左陪集與右陪集不必相等，${\displaystyle H}$所有的左右陪集相等當且僅當${\displaystyle H}$為正規子群。有時會用這個條件作為子群正規性的定義。

陪集指某個${\displaystyle G}$中子群的左或右陪集。因為${\displaystyle Hg=g(g^{-1}Hg)}$，${\displaystyle H}$的右陪集${\displaystyle Hg}$和共軛子群${\displaystyle g^{-1}Hg}$的左陪集${\displaystyle g(g^{-1}Hg)}$相等。因此不明確說明所使用的子群而討論一個陪集是左陪集或右陪集是沒有意義的。

對於交換群或者將群操作記為加號的群，左右陪集可以分別用${\displaystyle g+H}$和${\displaystyle H+g}$表示。

範例

令${\displaystyle H=\{0,2\}}$（同構於${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$)為加法循環群 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}=\{0,1,2,3\}=G}$的一個子群。${\displaystyle H}$在${\displaystyle G}$中的左陪集為

${\displaystyle 0+H=\{0,2\}=H}$

${\displaystyle 1+H=\{1,3\}}$

${\displaystyle 2+H=\{2,0\}=H}$

${\displaystyle 3+H=\{3,1\}}$

因此${\displaystyle H}$有兩個不同的陪集：${\displaystyle H}$自身和${\displaystyle 1+H=3+H}$。注意到${\displaystyle G}$的每個元素要麼在${\displaystyle H}$中，要麼在${\displaystyle 1+H}$中，換言之，${\displaystyle H\cup (1+H)=G}$，所以${\displaystyle H}$在${\displaystyle G}$中的兩個不同的左陪集構成${\displaystyle G}$的一個劃分。因為${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$是交換群，右陪集和左陪集相同。

另一個陪集的例子來自線性空間。線性空間的向量在向量加法下組成一個阿貝爾群。可以證明原來的線性空間的子空間是這個群的子群。對於給定的線性空間 V，子空間 W 和 V 中的一個固定向量 a，集合

${\displaystyle \{x\in V\colon x=a+n,n\in W\}}$

被稱為「仿射子空間」。它們都是${\displaystyle W}$的陪集。對於歐幾里得空間，仿射子空間代表與給定的過原點的直線或平面平行的直線或平面。

性質

${\displaystyle gH=H}$當且僅當${\displaystyle g}$是${\displaystyle H}$中的元素。

一個子群 H 的兩個左（右）陪集要麼相同，要麼不交。因此左（右）陪集的集合構成了群 G 的一個劃分：群中的每個元素屬於且僅屬於一個左（右）陪集。特別地，單位元素只在一個陪集中，即是 H 自己。因此 H 也是所有左（右）陪集中唯一的子群。這個劃分稱為 G 對 H 的左（右）陪集分解。

在群${\displaystyle G}$中定義等價關係${\displaystyle \sim _{H}}$使得${\displaystyle x\sim _{H}y}$（x 與 y 等價）當且僅當${\displaystyle x^{-1}y\in H}$，那麼 H 在 G 中的左陪集正是所有不同的等價類。類似的結論對右陪集也成立（當等價關係的定義為${\displaystyle x\sim _{H}y\iff xy^{-1}\in H}$時）。

一個陪集的代表元是建立在上述等價關係上的概念。陪集中的每個元素都可以作為該陪集的代表元。

${\displaystyle H}$的所有左（右）陪集的階都是一樣的。${\displaystyle H}$在${\displaystyle G}$中的左陪集個數和右陪集個數也是一樣的，稱為${\displaystyle H}$在${\displaystyle G}$中的指數。記作 ${\displaystyle [G:H]}$。由陪集的性質很容易得到拉格朗日定理。該定理說明在${\displaystyle G}$為有限群時：

${\displaystyle |G|=[G:H]\cdot |H|}$

陪集與正規子群

如果子群${\displaystyle H}$不是${\displaystyle G}$的正規子群，那麼它的左陪集和右陪集不相等：${\displaystyle G}$中存在元素${\displaystyle a}$使得不存在符合${\displaystyle aH=Hb}$的元素 ${\displaystyle b}$。換言之，${\displaystyle H}$的左陪集構成的劃分（${\displaystyle G}$對${\displaystyle H}$的左陪集分解）不同於${\displaystyle H}$的右陪集構成的劃分（${\displaystyle G}$對${\displaystyle H}$的右陪集分解）。

另一方面，子群${\displaystyle H}$為正規子群當且僅當對${\displaystyle G}$中所有元素${\displaystyle g}$都有${\displaystyle gH=Hg}$。此時子群${\displaystyle H}$所有的陪集構成一個群，稱為${\displaystyle G}$對${\displaystyle H}$的商群，記作${\displaystyle G/H}$。其元素間的運算 ${\displaystyle *}$ 定義為${\displaystyle (aH)*(bH)=abH}$。這個定義自洽當且僅當${\displaystyle H}$為正規子群。

有限指數

無限群G可能有具有有限指數的子群H（例如，整數群中的偶數）。可以證明，這樣的子群總是包含一個具有有限指數的（G的）正規子群N。事實上，如果H具有指數n，則N的指數是n!的因子。這一性質可以通過具體的例子來體現：考慮G通過乘法在H的左陪集上的置換作用（或者，在右陪集上的作用也是同樣的例子）

${\displaystyle \pi \ :G\times S_{H}\to S_{H}}$

${\displaystyle .\ \ \ (\ g\ ,\ aH)\longmapsto gaH}$

其中 ${\displaystyle S_{H}}$ 是所有陪集的集合。對 G 中任意的 g， ${\displaystyle \pi _{g}\ :aH\mapsto gaH}$ 都是一個置換。再考慮相應的置換表示：${\displaystyle \Pi \ :g\mapsto \pi _{g}}$ ，這個置換表示的核給出了G的一個正規子群N，而它的象是G的一個商群：一個在n個元素上的對稱群的子群。

n = 2時，上述性質表明指數為2的子群總是一個正規子群，因為 2!=2。

參看

• 雙陪集
• 堆
• 拉格朗日定理
• 正規子群
• 商群

參考來源

• 胡冠章，《應用近世代數》，第2章，清華大學出版社。