自由模維基百科,自由的 encyclopedia 在抽象代數中,一個環 R {\displaystyle R} 上的自由模是帶有基底的模。 定義 一個自由 R {\displaystyle R} -模 M {\displaystyle M} 是 R {\displaystyle R} -模範疇中的自由對象。具體言之,即存在一族元素 { m i } i ∈ I {\displaystyle \{m_{i}\}_{i\in I}} (可能有無限多個)使得: 任何 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 都可表成它們的線性組合 m = ∑ i ∈ I r i m i {\displaystyle m=\sum _{i\in I}r_{i}m_{i}} ,其中只有有限個 r i {\displaystyle r_{i}} 非零。 若 ∑ i ∈ I r i m i = ∑ i ∈ I r i ′ m i {\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}m_{i}=\sum _{i\in I}r_{i}'m_{i}} ,則 ∀ i , r i = r i ′ {\displaystyle \forall i,\;r_{i}=r_{i}'} 。 等價說法是: M ≃ R I {\displaystyle M\simeq R^{I}} 。此時 { m i } i ∈ I {\displaystyle \{m_{i}\}_{i\in I}} 稱作 M {\displaystyle M} 的一組基底。 性質 M {\displaystyle M} 的秩可定義為 I {\displaystyle I} 的基數,與基底選取無關。 自由模皆是射影模,也是平坦模。 若接受選擇公理,則任何除環上的模都是自由模,例如域上的向量空間。
在抽象代數中,一個環 R {\displaystyle R} 上的自由模是帶有基底的模。 定義 一個自由 R {\displaystyle R} -模 M {\displaystyle M} 是 R {\displaystyle R} -模範疇中的自由對象。具體言之,即存在一族元素 { m i } i ∈ I {\displaystyle \{m_{i}\}_{i\in I}} (可能有無限多個)使得: 任何 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 都可表成它們的線性組合 m = ∑ i ∈ I r i m i {\displaystyle m=\sum _{i\in I}r_{i}m_{i}} ,其中只有有限個 r i {\displaystyle r_{i}} 非零。 若 ∑ i ∈ I r i m i = ∑ i ∈ I r i ′ m i {\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}m_{i}=\sum _{i\in I}r_{i}'m_{i}} ,則 ∀ i , r i = r i ′ {\displaystyle \forall i,\;r_{i}=r_{i}'} 。 等價說法是: M ≃ R I {\displaystyle M\simeq R^{I}} 。此時 { m i } i ∈ I {\displaystyle \{m_{i}\}_{i\in I}} 稱作 M {\displaystyle M} 的一組基底。 性質 M {\displaystyle M} 的秩可定義為 I {\displaystyle I} 的基數,與基底選取無關。 自由模皆是射影模,也是平坦模。 若接受選擇公理,則任何除環上的模都是自由模,例如域上的向量空間。