格羅滕迪克拓撲
維基百科,自由的 encyclopedia
範疇論中,格羅滕迪克拓撲是範疇C上的一種結構,它使C中對象的表現如拓撲空間的開集一樣。範疇連同格羅滕迪克拓撲的選擇,統稱為景(site)。
格羅滕迪克拓撲將開覆蓋的概念公理化。利用格羅滕迪克拓撲提供的覆蓋,就可定義範疇上的層及其上同調。亞歷山大·格羅滕迪克首先運用代數幾何與代數數論定義了概形的平展上同調,此後被用來定義其他上同調論,如ℓ進上同調、平坦拓撲、晶體上同調等。格羅滕迪克拓撲最常用於定義上同調論,但也有其他應用,如約翰·泰特的剛性解析幾何等。
有一種自然的方法將景與普通拓撲空間相聯繫,格羅滕迪克的理論被鬆散地視為經典拓撲學的推廣。在貧點集假設(即索伯度)下,這是完全正確的:可從關聯的景恢復出一個索伯空間。然而,不可分拓撲空間等簡單例子表明,並非所有拓撲空間都能用格羅滕迪克拓撲表達。相反,有些格羅滕迪克拓撲並非來自拓撲空間。
「格羅滕迪克拓撲」一詞的含義已經變化了。Artin (1962)中,這指的是現在所謂格羅滕迪克前拓撲(pretopology),有學者仍在使用這個定義。Giraud (1964)改用篩,棄用覆蓋,這大多不會引起太大的差別,因為每個格羅滕迪克前拓撲都唯一確定了的格羅滕迪克拓撲,不過,不同的前拓撲可以給出相同的拓撲。