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極點 (複分析)
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亞純函數的極點是一種特殊的奇異點,它的表現如同時
的奇異點。也就是說,如果當
時,函數
,那麼
在
處便具有極點。
定義
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假設 是複數平面
的開子集,
是
的一個元素,
是一個在定義域內全純的函數。如果存在一個全純函數
和一個非負整數
,使得對於所有
內的
,都有
那麼便稱為
的極點。滿足以上條件的最小整數
稱為極點的階。一階的極點又稱為簡單極點。
性質
1.函數f在極點a的極限值是.也就是說
2.由性質1.可知,如果令函數
那麼代入定義可知:
其中在
點解析。那麼有
是
的m階零點。
3.由於是全純函數,
可以表示為:
這是一個洛朗級數,它的主部分是有限的。全純函數稱為
的正則部分。因此,點
是
的
階極點,當且僅當
在
處的羅朗級數中所有低於
的次數都為零,而
次項不為零。
評論
如果函數的一階導數在
處具有簡單極點,則
是
的一個分支點(英語:Branch point),但反過來不成立。
一個既不是極點又不是分支點的非可去奇異點稱為本性奇異點。
除了一些孤立奇異點外全純的函數,且所有的奇異點均為極點,則該函數稱為亞純函數。