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洛朗級數
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在數學中,複變函數f(z)的洛朗級數(英語:Laurent series),是冪級數的一種,它不僅包含了正數次數的項,也包含了負數次數的項。有時無法把函數表示為泰勒級數,但可以表示為洛朗級數。洛朗級數是由皮埃爾·阿方斯·洛朗在1843年首次發表並以他命名的。卡爾·魏爾斯特拉斯可能是更早發現這個級數的人,但他1841年的論文在他死後才發表於世。[1]
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函數f(z)關於點c的洛朗級數由下式給出:
其中an是常數,由以下的曲線積分定義,它是柯西積分公式的推廣:
積分路徑γ是位於圓環A內的一條逆時針方向的可求長曲線,把c包圍起來,在這個圓環內是全純的(解析的)。
的洛朗級數展開式在這個圓環內的任何地方都是正確的。在右邊的圖中,該環用紅色顯示,其內有一合適的積分路徑
。如果我們讓
是一個圓
,其中
,這就相當於要計算的限制到
上
的複傅立葉系數。這些積分不隨輪廓
的變形而改變是斯托克斯定理的直接結果。
在實踐中,上述的積分公式可能不是計算給定的函數系數
最實用的方法;相反,人們常常通過拼湊已知的泰勒展開式來求出洛朗級數。因為函數的洛朗展開式只要存在就是唯一的 ,實際上在圓環中任何與
相等的,以上述形式表示的給定函數的表達式一定就是
的洛朗展開式。