數學 上,可以表達為兩個整數比的數(
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
,
b
≠
0
{\displaystyle b\neq 0}
)被定義為有理數 ,例如
3
8
{\displaystyle {\frac {3}{8}}}
,0.75(可被表達為
3
4
{\displaystyle {\frac {3}{4}}}
);整數 和整數分數 統稱為有理數。
實數(ℝ)包括有理數(ℚ),其中包括整數(ℤ),其中包括自然數(ℕ)
與有理數相對的是無理數 ,如
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
無法用整數比表示。
有理數與分數 形式的區別,分數 形式是一種表示比值的記法,如 分數形式
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
是無理數 。
所有有理數的集合 表示為Q ,Q+,或
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
。定義如下:
Q
=
{
m
n
:
m
∈
Z
,
n
∈
Z
,
n
≠
0
}
{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}}
有理數的小數 部分有限或為循環 。不是有理數的實數 遂稱為無理數 。
詞源
有理數在英文 中稱作rational number,來自拉丁語 rationalis,意為理性的;詞根ratio,拉丁語意為理性、計算。[1] 代表「比例」的英文ratio一詞在歷史上出現得要比有理數(rational number)一詞更晚,前者最早有記錄是1660,而後者是1570年。[2] [3]
運算
有理數集對加、減、乘、除四則運算是封閉的,亦即有理數加、減、乘、除有理數的結果仍為有理數。有理數的加法和乘法如下:
a
b
+
c
d
=
a
d
+
b
c
b
d
a
b
⋅
c
d
=
a
c
b
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}\,\ \ \ \ \ \ {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}
兩個有理數
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
和
c
d
{\displaystyle {\frac {c}{d}}}
相等若且唯若
a
d
=
b
c
{\displaystyle ad=bc}
有理數中存在加法和乘法的逆:
−
(
a
b
)
=
−
a
b
a
≠
0
{\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}\,\ \ \ \ \ \ \ \ a\neq 0}
時,
(
a
b
)
−
1
=
b
a
{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}}
兩數相乘,同號得正異號得負,並把絕對值相乘。
古埃及分數
古埃及分數是分子為1、分母為正整數的有理數。每個有理數都可以表達為有限個兩兩不等的古埃及分數的和。例如:
5
7
=
1
2
+
1
6
+
1
21
{\displaystyle {\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}}
對於給定的正有理數,存在無窮 多種表達成有限個兩兩不等的古埃及分數之和的方法。
形式構建
數學上可以將有理數定義為建立在整數 的有序對 上
(
a
,
b
)
{\displaystyle \left(a,b\right)}
的等價類 ,這裏
b
,
d
{\displaystyle b,d}
不為零。我們可以對這些有序對定義加法和乘法,規則如下:
(
a
,
b
)
+
(
c
,
d
)
=
(
a
d
+
b
c
,
b
d
)
{\displaystyle \left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(ad+bc,bd\right)}
(
a
,
b
)
×
(
c
,
d
)
=
(
a
c
,
b
d
)
{\displaystyle \left(a,b\right)\times \left(c,d\right)=\left(ac,bd\right)}
為了使
2
4
=
1
2
{\displaystyle {\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}
,定義等價關係
∼
{\displaystyle \sim }
如下:
(
a
,
b
)
∼
(
c
,
d
)
iff
a
d
=
b
c
{\displaystyle \left(a,b\right)\sim \left(c,d\right){\mbox{ iff }}ad=bc}
這種等價關係與上述定義的加法和乘法上是一致的,而且可以將Q 定義為整數有序對關於等價關係~的商集 :
Q
=
Z
×
(
Z
−
{
0
}
)
/
∼
{\displaystyle \mathbb {Q} =\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} -\{0\})/\sim }
。例如:兩個對
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
和
(
c
,
d
)
{\displaystyle (c,d)}
是相同的,如果它們滿足上述等式。(這種構建可用於任何整數環 ,參見商域 。)
定義大小
Q 上的大小可以定義為:
(
a
,
b
)
≤
(
c
,
d
)
{\displaystyle \left(a,b\right)\leq \left(c,d\right)}
若且唯若
b
d
>
0
{\displaystyle bd>0}
並且
a
d
≤
b
c
{\displaystyle ad\leq bc}
b
d
<
0
{\displaystyle bd<0}
並且
a
d
≥
b
c
{\displaystyle ad\geq bc}
然後
x
<
y
{\displaystyle x<y}
是指
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
但
y
≰
x
{\displaystyle y\nleq x}
。亦可在「小於 」概念之上引入「大於 」的概念,即:
a
<
b
{\displaystyle a<b}
若且唯若
b
>
a
{\displaystyle b>a}
。此排序中,每一對有理數
a
,
b
{\displaystyle a,b}
之間皆可比較,必有且僅有以下關係之一:
a
=
b
{\displaystyle a=b}
,
a
>
b
{\displaystyle a>b}
,
a
<
b
{\displaystyle a<b}
。
又滿足傳遞性 :若
a
<
b
{\displaystyle a<b}
,且
b
<
c
{\displaystyle b<c}
,則
a
<
c
{\displaystyle a<c}
。所以以上定義的大小關係是全序關係 。
有理數集的序還滿足稠密性 :若
a
<
b
{\displaystyle a<b}
,則必存在有理數
c
{\displaystyle c}
,滿足
a
<
c
{\displaystyle a<c}
,且
c
<
b
{\displaystyle c<b}
。[4]
性質
有理數集是可數的
集合
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
,以及上述的加法和乘法運算,構成域 ,即整數
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
的商域 。
有理數是特徵 為0的域最小的一個:所有其他特徵為0的域都包含
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
的一個拷貝(即存在一個從
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
到其中的同構 映射)。
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
的代數閉包 ,例如有理數多項式的根的域,是代數數域 。
所有有理數的集合是可數 的,亦即是說
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
的基數 (或勢 )與自然數集合
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
相同,都是阿列夫數
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
,這是因為可以定義一個從有理數集
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
映至自然數集合的笛卡爾積
N
×
N
{\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }
的單射 函數,而
N
×
N
{\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }
是可數集合之故。因為所有實數的集合是不可數的,所以從勒貝格測度 來看,可以認為絕大多數 實數不是有理數。
有理數的序是個稠密序 :任何兩個有理數之間存在另一個有理數,事實上是存在無窮多個。此外,有理數集也沒有最大和最小元素,所以是無端點的可數稠密全序(dense linear order without endpoints )。康托爾同構定理 說明,任何無端點的可數稠密全序必定序同構 於有理數的序,換言之,若不辨同構之異 ,則有理數的大小序是唯一具此性質的序結構。
實數
有理數是實數 的稠密子集 :每個實數都有任意接近的有理數。一個相關的性質是,僅有理數可化為有限連分數 。
依照它們的序列,有理數具有一個序拓撲 。有理數是實數 的(稠密 )子集 ,因此它同時具有一個子空間拓撲 。採用度量
d
(
x
,
y
)
=
|
x
−
y
|
{\displaystyle d\left(x,y\right)=|x-y|}
,有理數構成一個度量空間 ,這是
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
上的第三個拓撲。幸運的是,所有三個拓撲一致並將有理數轉化到一個拓撲域 。有理數是非局部緊緻空間 的一個重要的實例。這個空間也是完全不連通 的。有理數不構成完備的度量空間 ;實數 是
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
的完備集。
p 進數
除了上述的絕對值度量,還有其他的度量將
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
轉化到拓撲域:
設
p
{\displaystyle p}
是素數 ,對任何非零整數
a
{\displaystyle a}
設
|
a
|
p
=
p
−
n
{\displaystyle |a|_{p}=p^{-n}}
,這裏
p
n
{\displaystyle p^{n}}
是整除
a
{\displaystyle a}
的
p
{\displaystyle p}
的最高次冪;
另外
|
0
|
p
=
0
{\displaystyle |0|_{p}=0}
。對任何有理數
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
,設
|
a
b
|
p
=
|
a
|
p
|
b
|
p
{\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}}
。
則
d
p
(
x
,
y
)
=
|
x
−
y
|
p
{\displaystyle d_{p}\left(x,y\right)=|x-y|_{p}}
在
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
上定義了一個度量 。
度量空間
(
Q
,
d
p
)
{\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,d_{p}\right)}
不完備,它的完備集是p 進數 域
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
。
參見
參考文獻
Oxford English Dictionary 2nd. Oxford University Press. 1989. Entry ratio , n. , sense 2.a.
Oxford English Dictionary 2nd. Oxford University Press. 1989. Entry rational , a. (adv.) and n. 1 , sense 5.a.