艾森斯坦整數 是具有以下形式的複數 :
z
=
a
+
b
ω
{\displaystyle z=a+b\omega \,\!}
艾森斯坦整數是複數平面上三角形點陣的交點。
其中a 和b 是整數 ,且
ω
=
1
2
(
−
1
+
i
3
)
=
e
2
π
i
3
{\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{\frac {2\pi i}{3}}}
是三次單位根 。艾森斯坦整數在複數平面 上形成了一個三角形點陣。高斯整數 則形成了一個正方形點陣。
艾森斯坦整數在代數數體
Q
(
ω
)
{\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}
中形成了一個代數數 的交換環 。每一個z = a + b ω都是首一多項式
z
2
−
(
2
a
−
b
)
z
+
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
.
{\displaystyle z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).\,\!}
的根。特別地,ω滿足以下方程:
ω
2
+
ω
+
1
=
0
{\displaystyle {{{{\omega }^{2}}+{\omega }}+{1}}=0}
因此,艾森斯坦整數是代數數 。
艾森斯坦整數的範數 是它的絕對值 的平方,由以下的公式給出:
|
a
+
b
ω
|
2
=
a
2
−
a
b
+
b
2
.
{\displaystyle |a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!}
因此它總是整數 。由於:
4
a
2
−
4
a
b
+
4
b
2
=
(
2
a
−
b
)
2
+
3
b
2
,
{\displaystyle 4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},\,\!}
因此非零艾森斯坦整數的範數總是正數。
艾森斯坦整數環中的可逆元素群 ,是複數平面中六次單位根 所組成的循環群 。它們是:
{±1, ±ω, ±ω2 }
它們是範數為一的艾森斯坦整數。
設x 和y 是艾森斯坦整數,如果存在某個艾森斯坦整數z ,使得y = z x ,則我們說x 能整除y 。
它是整數的整除概念的延伸。因此我們也可以延伸質數 的概念:一個非可逆元素的艾森斯坦整數x 是艾森斯坦質數,如果它唯一的因子是ux 的形式,其中u 是六次單位根的任何一個。
我們可以證明,任何一個被3除餘1的質數都具有形式x 2 −xy +y 2 ,因此可以分解為(x +ωy )(x +ω2 y )。因為這樣,它在艾森斯坦整數中不是質數。被3除餘2的質數則不能分解為這種形式,因此它們也是艾森斯坦質數。
任何一個艾森斯坦整數a + b ω,只要範數a 2 −ab +b 2 為質數,那麼就是一個艾森斯坦質數。實際上,任何一個艾森斯坦整數要麼就是這種形式,要麼就是一個可逆元素和一個被3除餘2的質數的乘積。
艾森斯坦整數環形成了一個歐幾里德域 ,其範數N 由以下的公式給出:
N
(
a
+
b
ω
)
=
a
2
−
a
b
+
b
2
.
{\displaystyle N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!}
這是因為:
N
(
a
+
b
ω
)
=
|
a
+
b
ω
|
2
=
(
a
+
b
ω
)
(
a
+
b
ω
¯
)
=
a
2
+
a
b
(
ω
+
ω
¯
)
+
b
2
=
a
2
−
a
b
+
b
2
{\displaystyle {\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+b\,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2}-ab+b^{2}\end{aligned}}}
Bachmann, P. Allgemeine Arithmetik der Zahlkörper. p. 142.
Cox, D. A. §4A in Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory and Complex Multiplication. New York: Wiley, 1989.
Guy, R. K. "Gaussian Primes. Eisenstein-Jacobi Primes." §A16 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 33-36, 1994.
Wagon, S. "Eisenstein Primes." §9.8 in Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 319-323, 1991.