單位球面

數學上，單位球面是到固定中心點距離為1的點的集合，其中距離可以是任何推廣了的距離概念。單位球是單位球面所包圍的區域。通常一個特定的點被表示為所研究的空間的原點，並且單位球面或單位球通常以該點為中心。因此通常單位球或者單位球面就是指以原點為中心的單位球或球面。

一些單位球

單位球面就是半徑1的球面。單位球的重要之處是任何球面可以通過平移和縮放的組合來變換為單位圓。這樣一般情況的球的屬性可以歸約到對於單位球的研究。

歐氏空間的單位球

n維歐氏空間中，單位球面是所有滿足如下方程的點${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$的集合

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1}$

而閉單位球是所有滿足如下不等式的點的集合

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.}$

一般的面積和體積公式

n-維歐氏空間的單位球體積，和單位球面的面積，出現在很多數學分析的公式中。n維空間中的單位球面的表面積，經常記為${\displaystyle \omega _{n}}$，可以用Γ函數表示。它是

${\displaystyle \omega _{n}={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$.

單位球的體積則是${\displaystyle {\frac {\omega _{n}}{n}}}$.

賦范向量空間中的單位球

精確一點的說，賦范向量空間${\displaystyle V}$中的開單位球，設範數為${\displaystyle \|\cdot \|}$，由下式表示

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|<1\}}$.

它位於${\displaystyle (V,\left\Vert \cdot \right\Vert )}$中的閉單位球的內部，

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|\leq 1\}}$.

後者是前者和它們的公共邊界${\displaystyle (V,\left\Vert \cdot \right\Vert )}$的單位球面的不交併集，

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|=1\}}$.

討論

單位球的形狀完全取決於所選的範數；它可能有角，例如它可以看起來象${\displaystyle [-1,1]^{n}}$，也就是在選取${\displaystyle R^{n}}$中的範數${\displaystyle l_{\infty }}$的情況。圓球可以理解為一般的希爾伯特空間範數的情況，在有限維的情況中依賴於歐氏距離；它的邊界就是通常所指的單位球面。

推廣

度量空間

上面的三個定義都可以直接推廣到度量空間中相對於某個原點的相應概念。但是，拓撲上的考慮（內部，閉包，邊界）不一定可以同樣的推廣（例如，在超度量空間，所有三者同時是即開且閉集合），而單位球在某些度量空間甚至可能是空集。

二次型

若${\displaystyle V}$是有實二次型${\displaystyle F:V\rightarrow R}$的線性空間，則${\displaystyle \{x\in V:F(x)=1\}}$有時稱為${\displaystyle V}$的單位球面。二維的例子有雙曲複數和對偶數。當${\displaystyle F}$可以取負值時，則${\displaystyle \{x\in V:F(x)=-1\}}$稱為反球面。

參看

• 單位圓
• 單位正方形
• 單位圓盤
• 球面
• 球 (數學)
• 數學符號表