平移

本文介紹歐幾里得空間中的「平移」，不是平移運動、平行移動。

在仿射幾何，平移（translation）是將物件的每點向同一方向移動相同距離。

平移將物件的每一點向同一方向移動相同距離。

在針對一個軸的反射之後的針對另一個平行於前一個軸的軸的反射導致是平移的總和運動。

它是等距同構，是仿射空間中仿射變換的一種。它可以視為將同一個向量加到每點上，或將坐標系統的中心移動所得的結果。即是說，若${\displaystyle \mathbf {v} }$是一個已知的向量，${\displaystyle \mathbf {p} }$是空間中一點，平移${\displaystyle T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$。

將同一點平移兩次，結果可用一次平移表示，即${\displaystyle T_{\mathbf {v} }(T_{\mathbf {u} }(\mathbf {p} ))=T_{\mathbf {v} +\mathbf {u} }(\mathbf {p} )}$，因此所有平移的集是一個群，稱為平移群。這個群和空間同構，又是歐幾里德群E(n)的正規子群。

T對E的商群與正交群O(n)同構：E(n) / T = O(n)。

矩陣表示

例如在三維空間，使用齊次坐標，${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$可用矩陣表示為

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$。

平移的結果${\displaystyle T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )}$就是

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}}$。

平移的逆矩陣：${\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }}$。兩個平移矩陣的積就是兩次平移的結果：${\displaystyle T_{\mathbf {u} }T_{\mathbf {v} }=T_{\mathbf {u} +\mathbf {v} }}$。因為向量加法符合交換律，所以平移群不像一般矩陣乘法，平移矩陣乘法是可交換的。

參見

• 平移運動
• 平移對稱
• 變換矩陣
• 反射
• 旋轉
• 反演
• 點反演
• 縮放

外部連結

• Translation Transform （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at cut-the-knot
• Geometric Translation (Interactive Animation) （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at Math Is Fun
• Understanding 2D Translation （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） and Understanding 3D Translation （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.