餘割(Cosecant,
)是三角函數的一種。它的定義域不是
(或180°k,其中
為整數)的整個實數集,值域是絕對值大於等於一的實數。它是周期函數,其最小正周期為
(360°)。
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餘割 |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5b/Csc.svg/220px-Csc.svg.png) |
性質 |
奇偶性 | 奇 |
定義域 | ![{\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \right\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/400d0e1404605467e64505aa5385d826d07f4109)
|
到達域 | |
周期 | ![{\displaystyle 2\pi }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06) (360°) |
特定值 |
當x=0 | ∞ |
當x=+∞ | N/A |
當x=-∞ | N/A |
最大值 | +∞ |
最小值 | -∞ |
其他性質 |
漸近線 | ![{\displaystyle x=k\pi }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af1eda9d7654eadf9ceaab3b941be609893e957) (x=180°k) |
根 | 無實根 |
臨界點 | ![{\displaystyle k\pi -{\tfrac {\pi }{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffe0581eec379818a0a8f8a0e56da6ee42a8f93) (180°k-90°) |
不動點 | 當x軸為弧度時: ±1.11415714087193... (±63.8365018863243...°) ±2.77260470826599... (±158.858548041742...°) ±6.4391172384172... (±368.934241551242...°) ...
當x軸為角度時: ±7.5804535084227...° ±179.6811235695917...° ±360.15908484761767...° ... |
k是一個整數。 |
餘割是三角函數的餘函數(餘弦、餘切、餘割、餘矢)之一,所以在
(360°k)到
(360°k+90°)的區間之間,函數是遞減的,另外餘割函數和正弦函數互為倒數。
在單位圓上,餘割函數位於割線上,因此將此函數命名為餘割函數。
和其他三角函數一樣,餘割函數一樣可以擴展到複數。
符號史
餘割的符號為
,取自英文cosecant,其又源於拉丁文的cosecans及secans complementi。
定義
直角三角形中
直角三角形,
為直角,
的角度為
, 對於
而言,a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊
在直角三角形中,一個銳角
的餘割定義為它的斜邊與對邊的比值,也就是:
![{\displaystyle \csc \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {a} }}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd3bc4e5fe60d910a5e1ce74a9511a6f43a2e6e)
其定義與正弦函數互為倒數。
直角坐標系中
設
是平面直角坐標系xOy中的一個象限角,
是角的終邊上一點,
是P到原點O的距離,則
的餘割定義為:
![{\displaystyle \csc \alpha ={\frac {r}{y}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1ac2a3d9a3fee3e38280ecc237553d1b021366)
單位圓定義
單位圓
圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點的線,同x軸正半部分得到一個角
,並與單位圓相交。這個交點的y坐標等於
。在這個圖形中的三角形確保了這個公式;半徑等於斜邊並有長度1,所以有了
。單位圓可以被認為是通過改變鄰邊和對邊的長度並保持斜邊等於1查看無限數目的三角形的一種方式。
對於大於
(360°)或小於
(-360°)的角度,簡單的繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下,餘割變成了周期為
(360°)的周期函數:
![{\displaystyle \csc \theta =\csc \left(\theta +2\pi k\right)=\csc \left(\theta +360^{\circ }k\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97f765789e17f87eaba32e085f37f58ec5f78b43)
對於任何角度
和任何整數
。
與其他函數定義
餘割函數和正弦函數互為倒數
即:
![{\displaystyle \csc x={\frac {1}{\sin x}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db019324c45bfd1ad3a670c3d3f91ebcd3dfd64)
級數定義
餘割也能使用泰勒級數來定義:
![{\displaystyle \csc x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+{\frac {127x^{7}}{604800}}+{\frac {73x^{9}}{3421440}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5452e0c6ef208c6888e6dc7620f3ef190ede050b)
其中
為伯努利數。
另外,我們也有
![{\displaystyle \csc x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{-n^{2}\pi ^{2}+x^{2}}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94bca2e63c8ffd99e658fa305e582f6a2bff7ce)
微分方程定義
![{\displaystyle \csc 'x=-\csc x\cot x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead1817d199127b0ced851ead014a24b633543f0)
![{\displaystyle \csc x=\left(\ln \left|\csc x-\cot x\right|\right)'}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3829ae5f3182e23161d09994f8fc8b8ae2144b)
指數定義
恆等式
和差角公式
![{\displaystyle \csc(\theta \pm \psi )={\frac {\csc \theta \csc \psi }{\cot \psi \pm \cot \theta }}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab116088b42a6ad09f65c3b3f6c8a5ecc4de404e)
參見