漸近線
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在解析幾何和微分學中,曲線的漸近線(英語:Asymptote[註 1])是一條使得當或
坐標之一或兩者趨於無窮大時,曲線與該線之間的距離接近零的線。在射影幾何和相關上下文中,曲線的漸近線是在無窮大點處與曲線相切的線。
漸近線分為三種類型:水平、垂直和傾斜。對於由函數的圖給出的曲線,水平漸近線是水平線,函數的圖隨着
趨於
或
趨近於水平線。垂直漸近線是垂直線,函數在該垂直線附近無限增長。斜漸近線的斜率非零但有限,因此當
趨於
或
時,函數的圖接近該斜率。
更一般地說,如果兩條曲線之間的距離趨於無窮大,則兩條曲線之間的距離趨向於零,則一條曲線是另一條曲線的曲線漸近線,儘管術語「漸近線」本身通常是為線性漸近線保留的。
漸近線傳達有關大曲線特性的信息,確定函數的漸近線是繪製函數圖的重要步驟。從廣義上講,對功能漸近線的研究是漸近分析主題的一部分。當任意曲線上一點沿曲線無限遠離原點時,如果
到一條直線(或另外一條曲線)的距離無限趨近於零,那麼這條直線(曲線)稱為這條曲線的漸近線。數學上的定義則是:若函數
的圖形收斂,則漸近線為
。
例解
例如,直線是雙曲線
的漸近線,因為雙曲線上的點
到直線
的距離
;當
無限趨近於0時,
也無限趨近於0。所以按照定義,直線
是該雙曲線的漸近線。同理,直線
也是該雙曲線的漸近線。
對於來說,如果當
時,有
(左右極限不一定相等),就把
叫做
的垂直漸近線;如果當
時,有
,就把
叫做
的水平漸近線。例如,
是曲線
的水平漸近線。
求法
依據
求漸近線,可以依據以下結論:
若極限存在,且極限
也存在,那麼曲線
具有漸近線
。
例子
例:求的漸近線。
解:(1)為其垂直漸近線。
(2),即
;
,即
;
所以也是其漸近線。
註釋
- 漸近線這個詞源於希臘語ἀσύμπτωτος(asumptōtos),意為「不在一起。 +σύν「在一起」 +πτωτ-ός「墮落」。該術語是Perga的Apollonius在其圓錐截面的工作中引入的,但與它的現代含義相反,他用它來表示不與給定曲線相交的任何直線。
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