值域

在數學中，函數的值域（英語：Range）是由定義域中一切元素所能產生的所有函數值的集合。有時候也稱為函數的像。

提示：此條目頁的主題不是對應域。

給定函數${\displaystyle f:A\rightarrow B}$，集合${\displaystyle f(A)}$被稱為是${\displaystyle f}$的值域，記為${\displaystyle R_{f}}$。值域不應跟對應域${\displaystyle B}$相混淆。一般來說，值域只是對應域的一個子集。

例子

假設函數${\displaystyle f}$為定義在實數上的函數：

${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

定義為

${\displaystyle f:x\mapsto x^{2}}$

${\displaystyle f}$的對應域為${\displaystyle \mathbb {R} }$，但明顯地${\displaystyle f(x)}$不會取到負數值，因此，事實上值域只是非負實數集合${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}}$，即區間${\displaystyle [0,\infty )}$：

${\displaystyle 0\leq f(x)<\infty }$。

求法

基本方法

初等函數的值域求法一般為：

1. 觀察法
2. 不等式法
3. 反函數法
4. 複合函數法
5. 配方法
6. 判別式法
7. 圖像求值

觀察法

例如：${\displaystyle y=3-{\sqrt {x}}}$

由${\displaystyle {\sqrt {x}}\geq 0}$

${\displaystyle \Rightarrow -{\sqrt {x}}\leq 0}$

所以值域為${\displaystyle (-\infty ,3]}$。

不等式法

反函數法

先求得所要計算的函數的反函數，則反函數的定義域即為原函數的值域。

例如：${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}$

它的反函數為${\displaystyle x=y^{3}}$

反函數的定義域為：${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

則原函數${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}$的值域為：${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

複合函數法

配方法

主條目：配方法

判別式法

圖像求值

畫出連續函數的圖像，則函數圖像縱軸的最小值和最大值（若有）組成的區間即為函數的值域。

相關條目

• 對應域
• 定義域
• 單射
• 滿射
• 對射