在微積分學 中,上極限和下極限 (英語:Limit superior and limit inferior )是指數列極限 的上極限和下極限,可以大致想像為數列極限的上下界。舉例來說,數列
{
(
−
1
)
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{(-1)^{n}\}_{n=1}^{\infty }}
的上極限為 1,下極限為 -1。
函數 的上極限和下極限可以用類似方式考慮。[ 註 1] 。集合的上極限和下極限分別是這個集合的極限點 的上確界 和下確界 。
上極限和下極限的示意圖。數列 x n 為藍色。兩個紅色虛線曲線逼近數列 x n 的上極限和下極限。數列的上下極限相等若且唯若此數列收斂
序列
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
的上極限定義是
lim sup
n
→
∞
x
n
=
inf
n
≥
0
sup
k
≥
n
x
k
=
inf
{
sup
{
x
k
:
k
≥
n
}
:
n
≥
0
}
{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{k\geq n}x_{k}=\inf\{\,\sup\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}}
;
或者
lim sup
n
→
∞
x
n
=
lim
n
→
∞
(
sup
m
≥
n
x
m
)
{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)}
。
同樣的,序列
x
n
{\displaystyle x_{n}}
的下極限定義是
lim inf
n
→
∞
x
n
=
sup
n
≥
0
inf
k
≥
n
x
k
=
sup
{
inf
{
x
k
:
k
≥
n
}
:
n
≥
0
}
{\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{k\geq n}x_{k}=\sup\{\,\inf\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}}
;
或者
lim inf
n
→
∞
x
n
=
lim
n
→
∞
(
inf
m
≥
n
x
m
)
{\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)}
。
這些定義在任意的偏序集 都適用,只需要上確界 和下確界 存在。
在完全格 裏,上確界和下確界總是存在,所以其中的序列一定有上極限和下極限。
每當
lim inf
x
n
{\displaystyle \liminf x_{n}}
和
lim sup
x
n
{\displaystyle \limsup x_{n}}
都存在,那麼
lim inf
n
→
∞
x
n
≤
lim sup
n
→
∞
x
n
{\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}}
。
上極限和下極限也記為
lim
¯
n
→
∞
x
n
{\displaystyle \varlimsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}}
和
lim
_
n
→
∞
x
n
{\displaystyle \varliminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}}
。
設
x
n
=
(
−
1
)
n
(
1
+
1
n
)
{\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}
,則
lim inf
x
n
=
−
1
{\displaystyle \liminf x_{n}=-1}
,
lim sup
x
n
=
1
{\displaystyle \limsup x_{n}=1}
。閉區間[-1, 1]中不包含任何
x
n
{\displaystyle x_{n}}
。
考慮數列
x
n
=
sin
n
{\displaystyle x_{n}=\sin \!n}
。應用π 的無理數 性質,可以證明
lim inf
x
n
=
−
1
{\displaystyle \liminf x_{n}=-1}
和
lim sup
x
n
=
+
1
{\displaystyle \limsup x_{n}=+1}
。[ 註 5]
lim inf
n
→
∞
(
p
n
+
1
−
p
n
)
{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})}
其中
p
n
{\displaystyle {p_{n}}}
是第
n
{\displaystyle n}
個素數 。[ 註 6]
集合 X 的冪集 P (X )是完備格 。對於P (X )中的序列,也就是X 的子集的序列,其上下極限也有用處。
若
X
n
{\displaystyle X_{n}}
是這樣的序列,那麼X 的元素a 屬於
lim inf
X
n
{\displaystyle \liminf X_{n}}
,若且唯若存在自然數
n
0
{\displaystyle n_{0}}
使得對於所有
n
>
n
0
{\displaystyle n>n_{0}}
,a 在
X
n
{\displaystyle X_{n}}
裏。元素a 屬於
lim sup
X
n
{\displaystyle \limsup X_{n}}
,若且唯若對所有自然數
n
0
{\displaystyle n_{0}}
,都存在一個指數
n
>
n
0
{\displaystyle n>n_{0}}
使得a 在
X
n
{\displaystyle X_{n}}
裏。換句話說,
lim sup
X
n
{\displaystyle \limsup X_{n}}
包含了所有這樣的元素,其中的每一個,都有無限多個n ,使得它在集合
X
n
{\displaystyle X_{n}}
裏;而
lim inf
X
n
{\displaystyle \liminf X_{n}}
包含了所有這樣的元素,其中的每一個,都有除了有限多個外的所有n ,使得它在
X
n
{\displaystyle X_{n}}
裏。
以集合論的標準語言來說,一個集合序列的下確界是這些集合的可數交,也就是包含在所有集合裏的最大集合:
inf
{
X
m
:
m
=
1
,
2
,
3
,
…
}
=
⋂
m
=
1
∞
X
m
{\displaystyle \inf \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcap _{m=1}^{\infty }}X_{m}}
。
令
I
n
{\displaystyle I_{n}}
為自
X
n
{\displaystyle X_{n}}
起的集合的下確界。那麼序列
I
n
{\displaystyle I_{n}}
非遞減,因為
I
n
⊂
I
n
+
1
{\displaystyle I_{n}\subset I_{n+1}}
。所以,第1至n 個下確界的併集就是第n 個下確界。下極限就是這序列的極限:
lim inf
n
→
∞
X
n
=
⋃
n
=
1
∞
(
⋂
m
=
n
∞
X
m
)
{\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)}
。
上極限可以相反方式定義。一個集合序列的上確界是包含這些集合的最小集合,也就是它們的可數並:
sup
{
X
m
:
m
=
1
,
2
,
3
,
…
}
=
⋃
m
=
1
∞
X
m
{\displaystyle \sup \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcup _{m=1}^{\infty }}X_{m}}
。
上極限是這個非遞增的上確界序列的可數交(其中每個上確界都包含在前一個裏面)。
lim sup
n
→
∞
X
n
=
⋂
n
=
1
∞
(
⋃
m
=
n
∞
X
m
)
{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)}
。
例子或應用可見波萊爾-坎泰利引理 ,柯西-阿達馬公式 (Cauchy-Hadamard Formula)。
Amann, H.; Escher, Joachim. Analysis. Basel; Boston: Birkhäuser. 2005. ISBN 0817671536 . González, Mario O. Classical complex analysis. New York: M. Dekker. 1991. ISBN 0824784154 .