上極限和下極限

在微積分學中，上極限和下極限（英語：Limit superior and limit inferior）是指數列極限的上極限和下極限，可以大致想像為數列極限的上下界。舉例來說，數列 ${\displaystyle \{(-1)^{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ 的上極限為 1，下極限為 -1。 函數的上極限和下極限可以用類似方式考慮。^{[註 1]}。集合的上極限和下極限分別是這個集合的極限點的上確界和下確界。

上極限和下極限的示意圖。數列 x_n 為藍色。兩個紅色虛線曲線逼近數列 x_n 的上極限和下極限。數列的上下極限相等若且唯若此數列收斂

定義

序列${\displaystyle (x_{n})}$的上極限定義是

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{k\geq n}x_{k}=\inf\{\,\sup\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}}$；

或者

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)}$。

同樣的，序列${\displaystyle x_{n}}$的下極限定義是

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{k\geq n}x_{k}=\sup\{\,\inf\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}}$；

或者

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)}$。

這些定義在任意的偏序集都適用，只需要上確界和下確界存在。 在完全格裏，上確界和下確界總是存在，所以其中的序列一定有上極限和下極限。

每當${\displaystyle \liminf x_{n}}$和${\displaystyle \limsup x_{n}}$都存在，那麼

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$。

上極限和下極限也記為${\displaystyle \varlimsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$和${\displaystyle \varliminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$。

實數數列

實數集 R 的數列對微積分很重要。R 不是完備格，但可以加入正負無窮以得到完備全序集 ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$，形成完備格。那麼在 ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ 中數列 ${\displaystyle (x_{n})}$ 收斂若且唯若 ${\displaystyle \liminf x_{n}=\limsup x_{n}}$，而這時 ${\displaystyle \lim x_{n}}$ 等於上面的共同值。^{[註 2]}

若實數數列 ${\displaystyle (x_{n})}$ 的上極限為實數^{[註 3]}，那麼上極限是最小的實數 a，使得對任意小的正實數 ${\displaystyle \epsilon }$，都存在足夠大的正整數 N，使得對所有 ${\displaystyle n\geq N}$，都有 ${\displaystyle x_{n}<a+\epsilon }$。換言之，對任何大於上極限的實數，都存在 N 使得這實數是數列 ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq N}}$ 的上界。

若實數數列 ${\displaystyle (x_{n})}$ 的下極限為實數，那麼下極限是最大的實數 b，使得對任意小的正實數 ${\displaystyle \epsilon }$，都存在足夠大的正整數 N，使得對所有 ${\displaystyle n\geq N}$，都有 ${\displaystyle x_{n}>b-\epsilon }$。換言之，對任何小於下極限的實數，都存在 N 使得這實數是數列 ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq N}}$的下界。

設 ${\displaystyle (x_{n})}$ 是整數數列。若其上極限為實數 a，由於 ${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$ 也符合上述條件，故此 a 必是整數。^{[註 4]}在條件中取 ${\displaystyle \epsilon <1}$，得出 a 是最小的實數，使得存在正整數 N，對所有 ${\displaystyle n\geq N}$，都有 ${\displaystyle x_{n}\leq a}$。因此 a 是最大的整數，使得有無限個 ${\displaystyle x_{n}=a}$。同樣地，若其下極限為實數 b，則 b 是最小的整數，使得有無限個 ${\displaystyle x_{n}=b}$。

若 ${\displaystyle I=\liminf x_{n}}$ 和 ${\displaystyle S=\limsup x_{n}}$ ，那麼區間 ${\displaystyle [I,S]}$ 不一定包含任何的 ${\displaystyle x_{n}}$，但是輕微擴大了的 [I-ε,S+ε] 對任意小的ε > 0都會包含除了有限項外所有的 x_n。區間 [I, S] 是適合這個性質的最小閉區間。

例子

• 設${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}$，則${\displaystyle \liminf x_{n}=-1}$，${\displaystyle \limsup x_{n}=1}$。閉區間[-1, 1]中不包含任何${\displaystyle x_{n}}$。
• 考慮數列${\displaystyle x_{n}=\sin \!n}$。應用π的無理數性質，可以證明${\displaystyle \liminf x_{n}=-1}$和${\displaystyle \limsup x_{n}=+1}$。^{[註 5]}

• 一個數論例子是

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})}$

其中${\displaystyle {p_{n}}}$是第${\displaystyle n}$個素數。^{[註 6]}

集的序列

集合X的冪集P(X)是完備格。對於P(X)中的序列，也就是X的子集的序列，其上下極限也有用處。

若${\displaystyle X_{n}}$是這樣的序列，那麼X的元素a屬於${\displaystyle \liminf X_{n}}$，若且唯若存在自然數${\displaystyle n_{0}}$使得對於所有${\displaystyle n>n_{0}}$，a在${\displaystyle X_{n}}$裏。元素a屬於${\displaystyle \limsup X_{n}}$，若且唯若對所有自然數${\displaystyle n_{0}}$，都存在一個指數${\displaystyle n>n_{0}}$使得a在${\displaystyle X_{n}}$裏。換句話說，${\displaystyle \limsup X_{n}}$包含了所有這樣的元素，其中的每一個，都有無限多個n，使得它在集合${\displaystyle X_{n}}$裏；而${\displaystyle \liminf X_{n}}$包含了所有這樣的元素，其中的每一個，都有除了有限多個外的所有n，使得它在${\displaystyle X_{n}}$裏。

以集合論的標準語言來說，一個集合序列的下確界是這些集合的可數交，也就是包含在所有集合裏的最大集合：

${\displaystyle \inf \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcap _{m=1}^{\infty }}X_{m}}$。

令${\displaystyle I_{n}}$為自${\displaystyle X_{n}}$起的集合的下確界。那麼序列${\displaystyle I_{n}}$非遞減，因為${\displaystyle I_{n}\subset I_{n+1}}$。所以，第1至n個下確界的併集就是第n個下確界。下極限就是這序列的極限：

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)}$。

上極限可以相反方式定義。一個集合序列的上確界是包含這些集合的最小集合，也就是它們的可數並：

${\displaystyle \sup \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcup _{m=1}^{\infty }}X_{m}}$。

上極限是這個非遞增的上確界序列的可數交（其中每個上確界都包含在前一個裏面）。

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)}$。

例子或應用可見波萊爾－坎泰利引理，柯西-阿達馬公式（Cauchy-Hadamard Formula）。

註釋

1. 參見函數的極限
2. 注意當只是考慮 R 時，收斂至 ${\displaystyle -\infty }$ 或 ${\displaystyle +\infty }$ 並不當作收斂，而是視作極限不存在。
3. 即為有限，不是 ${\displaystyle \pm \infty }$
4. ${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$ 是不大於 a 的最大整數。
5. 數列${\displaystyle \{1,2,3,...\}}$取mod 2π後在[0, 2π]中是稠密的，故得出結果。由等分佈定理可知這數列在區間中是等分佈的。
6. 下極限的值的猜測為2——這是孿生素數猜想。然而這個下極限是否為有限，是數論中長久以來的未解問題。直到2013年，張益唐首次證明下極限的值有限，並且小於7千萬。^[1]截至2014年9月，下極限的值的上界已降至246。^[2]由整數數列的下極限性質可知，有無限多的正整數n，使得${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}}$不大於246。

引用

• Amann, H.; Escher, Joachim. Analysis. Basel; Boston: Birkhäuser. 2005. ISBN 0817671536. 引文使用過時參數coauthors (幫助)

• González, Mario O. Classical complex analysis. New York: M. Dekker. 1991. ISBN 0824784154.

1. Zhang, Yitang. Bounded gaps between primes. Annals of Mathematics. 2013-05-21 [2014-07-10]. （原始內容存檔於2014-03-11） （英語）.
2. Bounded gaps between primes. Polymath wiki. [2014-09-24]. （原始內容存檔於2013-06-20）.