數列

數列（英語：Number sequence）是由數字組成的序列。另一種略為抽象的說法是——以正整數為定義域、值域是一個數系的函數。級數也是一種數列，不過它的每一項是另外一個數列的部份和。在微積分的教材中經常討論的數列是實數序列和實數級數。一般的「序列」則範圍更廣，可以由有序的一系列數字、一系列函數、一系列向量、一系列矩陣或一系列張量等等所組成。而在計算理論中，數列以及相關術語常用於有關遞推規律的研究。

正式定義

由於最一般的數為複數，可以作如下的定義：^[1]

數列的定義 — 一個 ${\displaystyle a:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }$ 的函數被稱為無窮數列，可記為 ${\displaystyle {\left\{a_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 、 ${\displaystyle {\left\langle a_{i}\right\rangle }_{i\in \mathbb {N} }}$ 或 ${\displaystyle {\left(a_{i}\right)}_{i\in \mathbb {N} }}$ ，而 ${\displaystyle a(i)}$ 會被簡記為 ${\displaystyle a_{i}}$ 。

若 ${\displaystyle I_{n}=\left\{1,\,2,\,\cdots ,\,n\right\}}$ ，則一個 ${\displaystyle a:I_{n}\to \mathbb {C} }$ 的函數被稱為有限數列，可記為 ${\displaystyle {\left\{a_{k}\right\}}_{k=1}^{n}}$ 、 ${\displaystyle {\left\langle a_{k}\right\rangle }_{k=1}^{n}}$ 或 ${\displaystyle {\left(a_{k}\right)}_{k=1}^{n}}$ 。

在教學上常會如下標示有限數列，來增進對定義的直觀理解：

${\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{n}=\left\langle a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\cdots ,\,a_{n}\right\rangle }$

以上表達式中的每一個數被稱為這個數列的「項」。${\displaystyle a_{1}}$ 為數列的「第一項」、${\displaystyle a_{2}}$ 為「第二項」，以此類推。${\displaystyle n}$ 被稱為有限數列的項數。數列中的第一項常稱為「首項」，最後一項則稱為「末項」。注意有限數列也可以設為 ${\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=0}^{n}}$ ，換句話說，把 ${\displaystyle 0}$ 加入數列的定義域，並以第零項 ${\displaystyle a_{0}}$ 作為首項。無窮數列只有首項，沒有末項，但類似的，也有人把 ${\displaystyle 0}$ 踢出無窮數列的定義域，讓無窮數列的首項為 ${\displaystyle a_{1}}$ 。

由數列中各個項的和組成的數列稱為「級數」，換句話說

級數的定義 — 一個數列 ${\displaystyle {\left\{a_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 的級數是另外一個數列 ${\displaystyle {\left\{s_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }}$ ，具有以下特性：

• ${\displaystyle s_{0}=a_{0}}$
• 對所有的 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 有 ${\displaystyle s_{n+1}=s_{n}+a_{n}}$

一般會將 ${\displaystyle {\left\{s_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 寫為 ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}}$ ，甚至更直觀的 ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}$ 來凸顯級數源於求和」的直觀概念。

級數的概念可以推廣至數列以外的序列，比如說函數序列的函數級數（英語：function series）。

分類

單調性

• 若對所有 n ∈ Z⁺ ，a_n+1 ≥ a_n ，則稱數列 ⟨a_k⟩ 為「遞增數列」。把 ≥ 換成 > ，則稱為「嚴格遞增數列」。
• 若對所有 n ∈ Z⁺ ，a_n+1 ≤ a_n ，則稱數列 ⟨a_k⟩ 為「遞減數列」。把 ≤ 換成 < ，則稱為「嚴格遞減數列」。
• 若對所有 n ∈ Z⁺ ，a_n+1 = a_n ，則稱數列 ⟨a_k⟩ 為「常數數列」。

有限性

• 若數列 ${\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{n}}$ 的項數有限，則 ⟨a_k⟩ 為「有限數列」。
• 若數列 ${\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{\infty }}$ 的項數無限，則 ⟨a_k⟩ 為「無窮數列」。

有界性

• 若對所有 n ∈ Z⁺ ，M ≤ a_n ≤ N ，則稱數列 ⟨a_k⟩ 為「有界數列」。 M 稱為「下界」， N 稱為「上界」。
• 若對數列 ⟨a_k⟩ ，上述的 M 、 N 不存在，則稱數列 ⟨a_k⟩ 為「無界數列」。

收斂性與極限

收斂性是數列的一個重要性質。如果一個數列逐漸趨近於某一個值，就稱該數列為收斂數列，否則稱為發散數列。

簡單的說，一個數列${\displaystyle \{x_{n}\}}$有極限，便是它的數列中的元素逐漸地越來越靠近${\displaystyle L}$（稱為極限值），但是它們仍然任意得很靠近極限值${\displaystyle L}$，而不一定恰好相等。

舉例來說：當 ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}}$ 時，隨着n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於0。當 ${\displaystyle a_{n}=5-{\frac {3n^{2}-9}{n^{2}+1}}}$時，隨着n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於2。

此外，值得注意的是，當一個數列有極限值時，它的極限值一定是唯一的。一般來說，當數列收斂，我們會記${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}$。

收斂的嚴格定義

我們說一個實數數列${\displaystyle \{a_{n}\}}$收斂於實數${\displaystyle L}$；如果對任意的${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在一個正整數${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$，使得對所有的${\displaystyle n\geq N}$，有${\displaystyle |a_{n}-L|<\epsilon }$。

重要的特殊數列

• 等差數列：是一種特殊數列。數列中，從第二項起，每一項與前一項的差相等。

例如數列${\displaystyle 1,3,5,7,9,\cdots ,9995,9997,9999,\cdots }$。

這就是一個等差數列，因為第二項與第一項的差和第三項與第二項的差相等，都等於${\displaystyle 2}$；${\displaystyle 9999}$與${\displaystyle 9997}$的差也等於2。我們把像2這樣的後一項與前一項的差稱之為公差，符號為${\displaystyle d}$，但是${\displaystyle d}$可為0。

若設首項${\displaystyle a_{1}=a}$，則等差數列的通項公式為${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$。

• 多階等差數列：又稱高階等差數列，中國則稱之為「質數相關數列」。

把一個數列的所有後項與前一項之差組成一個新的數列，如果這個新的數列是普通等差數列，原數列就稱為二階等差數列。

由此類推，把一個數列的所有後項與前一項之差組成一個新的數列，再把這個新的數列的所有後項與前一項之差組成另一個新的數列，如此進行下去，直到最後的數列如果是普通等差數列，那麼原數列就是多階等差數列。

普通等差數列可以視為一階等差數列，因而常數數列實際就是零階等差數列。

• 等比數列：是一種特殊數列。它的特點是：從第2項起，每一項與前一項的比都是一個常數。

例如數列${\displaystyle 2,4,8,16,32,\cdots ,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots }$。

這就是一個等比數列，因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等，都等於2，${\displaystyle 2^{198}}$與${\displaystyle 2^{197}}$的比也等於2。我們把像2這樣的後一項與前一項的比稱之為公比，符號為${\displaystyle r}$。

若設首項${\displaystyle a_{1}=a}$，則等比數列的通項公式為${\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}}$。

• 斐波那契數列：是一種特殊數列。它的特點是：首兩項均是1，從第3項起，每一項均為前兩項的和。

以數學符號表示，即${\displaystyle a_{1}=a_{2}=1}$，且對於${\displaystyle n\geq 3}$，${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}}$。

斐波那契數列的通項公式為${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]}$。

• 質數數列：目前找不到規律的特殊數列，即：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…………

• 正負相間：${\displaystyle (-1)^{n}}$或${\displaystyle (-1)^{n-1}}$

• 隔項有零：${\displaystyle {\frac {1}{2}}[(-1)^{n}+1]}$或${\displaystyle {\frac {1}{2}}[(-1)^{n-1}+1]}$

數列的求和

主條目：求和符號

通常對第1項到第${\displaystyle n}$項求和，記為${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$。此求和符號是由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉使用和推廣的。

一個特殊數列求和：奇數數列。1，3，5，7，9，...。其和為項數${\displaystyle n}$的平方。例如：1+3=2²,1+3+5=3²。

通項公式的求解

主條目：遞歸關係式

通常，從實際問題中會先得到一個遞歸關係式，但是可能會難以觀察出數列中某一項的項數和具體大小之間的規律。所以需要求出這個數列的通項公式。以下是一些常見的遞推式化簡方法。通項公式的求解在積分學、線性代數、概率論、組合數學、趣味數學、數學物理、數學建模、數值分析、分形等領域中都會遇到。並不存在一種通用的解法。求不出通項公式或只能進行估算的情形也可能出現。

數學歸納法

求出該數列的前數項，歸納其通項公式，然後用數學歸納法證明公式正確。

數學歸納法是最基本的方法，但對觀察和歸納的能力要求比較高。如果猜不出規律，則不能使用此方法。

逐差全加

給定數列差${\displaystyle d_{n}}$時逐差全加，例如：

${\displaystyle a_{1}=1}$，${\displaystyle d_{n}=a_{n}-a_{n-1}=2n}$, 求${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+\sum _{k=2}^{n}d_{k}=n^{2}+n-1}$

逐商全乘

給定數列比${\displaystyle r_{n}}$時逐差全乘，例如：

${\displaystyle a_{1}=1}$，${\displaystyle r_{n}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}={\frac {n}{n-1}}}$，求${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle a_{n}=a_{1}\prod _{k=2}^{n}r_{k}=n}$

從和式求通項

如果已知數列和的公式，那麼通項的求解非常容易。由${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{n}}$可知${\displaystyle S_{n}-S_{n-1}=a_{n}}$

把${\displaystyle S_{n}}$看成一個數列，可以先對${\displaystyle S_{n}}$進行求解，然後得出${\displaystyle a_{n}}$。

換元法

換元法用於從形式上簡化表達式，以突出問題的本質。換元法一般不單獨使用，而是和其它方法結合使用。中學數學中常用的有對數換元法、三角函數換元法，還有用得很少的雙曲函數換元法。

不動點法

對於形如齊次分式的遞歸關係，可利用不動點來推導。

已知${\displaystyle Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0}$，其中${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$都是常數，求${\displaystyle a_{n}}$。
求這類數列的通項公式，一般的方法就是將之化成一個新的等比數列。

• 如果${\displaystyle A\neq -B}$，那麼這個式子就可以化成下面的形式：

${\displaystyle A(a_{n+1}+k)=-B(a_{n}+k)}$。
求出${\displaystyle k}$，那麼數列${\displaystyle {a_{n}+k}}$就是一個等比數列，從而求出通項公式。

• 如果${\displaystyle A=-B}$，這個遞歸關係就不能化為等比數列。如果${\displaystyle A=-B}$，那麼它就是等差數列。另外，當${\displaystyle A=B}$的時候，它是一個等和數列。從這個問題我們可以看到，等和數列也可以化成一個等比數列。
• 除此之外也可以這樣將之化成等比數列：

${\displaystyle Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0}$
${\displaystyle Aa_{n}+Ba_{n-1}+C=0}$
兩邊相減就有：${\displaystyle A(a_{n+1}-a_{n})+B(a_{n}-a_{n-1})=0}$，如此就化成了一個等比數列。

已知${\displaystyle Aa_{n+1}+Ba_{n}+Ca_{n-1}+D=0}$,其中${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$、${\displaystyle D}$都為常數，求${\displaystyle a_{n}}$；
與上述數列一樣，它們一定可以化成下面的形式：
${\displaystyle Aa_{n+1}+Ea_{n}=k(Aa_{n}+Ea_{n-1})-D}$
求出對應系數，於是就轉化成了前面那種形式，然後就可以求出數列${\displaystyle {Aa_{n}+Ea_{n-1}}}$的通項公式，然後求出${\displaystyle a_{n}}$的通項公式。實際上這是一種逐步化簡的方法。

其它方法

其它常用方法包括導數求通項法、組合數學中的母函數方法、特徵方程法，這些一般是在大學課程或是部分高中的進階課程中學到。其中特徵方程法專門用於線性遞歸關係式的化簡，與求解線性微分方程的特徵方程法非常類似。

在其他數學領域的使用

拓樸

分析

線性代數

抽象代數

參見

• 整數數列線上大全 (OEIS)

參考資料

1. 譚傑鋒; 鄭愛武. 高等数学. 清華大學出版社; 北京交通大學出版社. 2007. ISBN 978-7-8108-2647-1 （中文（中國大陸））.。