條件數

數值分析中，一個問題的條件數是該數量在數值計算中的容易程度的衡量，也就是該問題的適定性。一個低條件數的問題稱為良置的，而高條件數的問題稱為病態（或者說非良置）的。

矩陣條件數

例如，線性方程${\displaystyle Ax=b}$的條件數給出了數值求解得到一個解${\displaystyle x}$有多不精確的一個上限。

條件數也會增大${\displaystyle b}$中存在的誤差。這個放大的程度可以使得一個低條件數的系統（通常是件好事情）變得不精確而使得一個高條件數的系統（通常是件壞事情）變得精確，這取決於${\displaystyle b}$的數據知道得多清楚。對於這個問題，條件數定義為

${\displaystyle \Vert A^{-1}\Vert \cdot \Vert A\Vert }$,

在任何自洽的矩陣範數中。這個數字經常在數值線性代數中出現，因而單獨有個名字，稱為矩陣條件數：

${\displaystyle \kappa (A)=\Vert A^{-1}\Vert \cdot \Vert A\Vert .}$^[1]

當然，這個定義依賴於範數的選取。

• 若${\displaystyle \|\cdot \|}$ 是 ${\displaystyle l_{2}}$ 矩陣範數則

${\displaystyle \kappa (A)={\frac {\sigma _{max}(A)}{\sigma _{min}(A)}}}$ 其中${\displaystyle \sigma _{max}(A)}$和${\displaystyle \sigma _{min}(A)}$分別是${\displaystyle A}$的極大和極小奇異值。因此

• 若${\displaystyle A}$是正規矩陣則

${\displaystyle \kappa (A)=\left|{\frac {\lambda _{max}(A)}{\lambda _{min}(A)}}\right|}$ (${\displaystyle \lambda _{max}(A),\ \lambda _{min}(A)}$分別是${\displaystyle A}$的極大和極小（根據模數）特徵值）

• 若${\displaystyle A}$是酉矩陣則

${\displaystyle \kappa (A)=1}$

• 若 ${\displaystyle \|\cdot \|}$是${\displaystyle l_{\infty }}$ 矩陣範數而${\displaystyle A}$是下三角矩陣，非奇異（也即${\displaystyle a_{ii}\neq 0\;\forall i}$）則：${\displaystyle \kappa (A)\geq {\frac {\max _{i}(|a_{ii}|)}{\min _{i}(|a_{ii}|)}}}$

其它意義下的條件數

奇異值分解，多項式求根，特徵值和其它許多問題的條件數也可以有定義。

通常，如果一個數值問題是適定的，它可以表達為一個函數${\displaystyle f}$映射它的數據（一個實數的${\displaystyle m}$元組${\displaystyle x}$）到它的解（一個實數的${\displaystyle n}$元組${\displaystyle y}$）。

它的條件數則定義為解中的相對誤差的半徑和數據中的相對誤差的比的最大值，取遍整個問題的定義域：

${\displaystyle \max \left\{\left|{\frac {f(x)-f(x^{*})}{f(x)}}\right|\left/\left|{\frac {x-x^{*}}{x}}\right|\right.:|x-x^{*}|<\epsilon \right\}}$

其中${\displaystyle \epsilon }$是問題中的數據的偏差的某個合理的小數值。

如果${\displaystyle f}$也是可微的，這可以近似的表示為

${\displaystyle \left|{\frac {f'(x)}{f(x)}}\right|.\left|x\right|}$.

參考資料

1. 数值分析(李庆扬、王能超、易大义)(超清晰版）.pdf 全文-综合-文档在线. max.book118.com. [2018-01-06]. （原始內容存檔於2018-01-06）.