正規矩陣

在數學中，正規矩陣（英語：normal matrix）${\displaystyle \mathbf {A} }$是與自己的共軛轉置滿足交換律的複系數方塊矩陣，也就是說，${\displaystyle \mathbf {A} }$滿足

${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{*}}$

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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閱 論 編

其中${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$是${\displaystyle \mathbf {A} }$的共軛轉置。

如果${\displaystyle \mathbf {A} }$是實系數矩陣，則${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}=\mathbf {A} ^{T}}$，從而條件簡化為${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{T}}$其中${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}}$是${\displaystyle \mathbf {A} }$的轉置矩陣。

任何一個正規矩陣，都是某個正規算子在一組標準正交基下的矩陣；反之，任一正規算子在一組標準正交基下的矩陣都為正規矩陣。

矩陣的正規性是檢驗矩陣是否可對角化的一個簡便方法：任意正規矩陣都可在經過一個酉轉換後變為對角矩陣，反過來所有可在經過一個酉轉換後變為對角矩陣的矩陣都是正規矩陣。

特例

在複系數矩陣中，所有的么正矩陣、埃爾米特矩陣和斜埃爾米特矩陣都是正規的。同理，在實系數矩陣中，所有的正交矩陣、對稱矩陣和斜對稱矩陣都是正規的。

但是正規矩陣並非只包括上述幾類，例如下面的

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}}$

是正規矩陣，因為：

${\displaystyle AA^{*}={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=A^{*}A}$.

矩陣${\displaystyle \mathbf {A} }$既不是么正矩陣，也不是埃爾米特矩陣或斜埃爾米特矩陣。

兩個正規矩陣的乘積也不一定是正規矩陣。

如果${\displaystyle \mathbf {A} }$同時既是三角矩陣又是正規矩陣，那麼${\displaystyle \mathbf {A} }$是對角矩陣，這點可以由比較${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} }$和${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{*}}$的相應系數得到。

性質

正規矩陣的概念十分重要，因為它們正是能使譜定理成立的物件：矩陣${\displaystyle \mathbf {A} }$正規當且僅當它可以被寫成${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{*}}$的形式。其中的${\displaystyle \mathbf {\Lambda } =\operatorname {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\dots )}$為對角矩陣，${\displaystyle \mathbf {U} }$為么正矩陣：

${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}\mathbf {U} =\mathbf {U} \mathbf {U} ^{*}=\mathbf {I} }$。

矩陣Λ對角線上的元素是A的特徵值，而組成U的列向量則是A相應的特徵向量。

譜定理的一種陳述，是說正規矩陣正好是能在${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$的某個正交基下變成對角矩陣的那些矩陣（這裏將矩陣同於${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$上的線性轉換，並使用常用的內積）。另外一種說法為：矩陣是正規的當且僅當其特徵向量能張成整個${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$，並且兩兩正交。

一般來說，兩個正規矩陣A和B的乘積不是正規矩陣，但是，如果A和B兩者可以交換，那麼它們的乘積與和就仍然是正規的。這是因為它們可以「同時」（通過同一個相似轉換矩陣）被對角化：

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} ^{*}\operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots )\mathbf {U} }$

${\displaystyle \mathbf {B} \ =\mathbf {U} ^{*}\operatorname {diag} (b_{1},b_{2},\dots )\mathbf {U} }$

於是，${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {U} ^{*}\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots )\mathbf {U} }$、${\displaystyle \mathbf {A+B} =\mathbf {U} ^{*}\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots )\mathbf {U} }$都是正規矩陣。

任何方陣A都可以通過極分解寫成A = UP。其中U是么正矩陣、P是某個半正定矩陣。如果A可逆，那麼U和P都是唯一的。而如果A是正規矩陣，那麼UP = PU（其逆命題只在有限維的情況下成立）。

推廣

正規矩陣的概念可以被推廣為無窮維希爾伯特空間中的正規算子和C*-代數中的正規元素。

類比

不同種類的正規矩陣可以與各種複數建立對應的類比關係。比如：

• 可逆矩陣類似於非零的複數。
• 矩陣的共軛轉置類似於複數的共軛
• 么正矩陣類似於模等於1的複數。
• 埃爾米特矩陣類似於實數。
• 埃爾米特矩陣中的正定矩陣類似於正實數。
• 斜埃爾米特矩陣類似於純虛數。

參見

• 相似矩陣
• 0-1矩陣
• 基
• 若爾當標準型

參考資料

• 史榮昌. 3. 矩阵分析. 北京理工大學出版社. ISBN 7-810-45075-1 （中文（中國大陸））.
• 蘇育才. 6. 矩阵理论. 科技出版社. ISBN 7-030-16355-9 （中文（中國大陸））.
• 劉丁酉. 4. 矩阵分析. 武漢大學出版社. : 93–95. ISBN 7-307-03821-8 （中文（中國大陸））.
• Chapitre 12: Espaces Euclidiens et Espaces Hermitiens [第12章：歐幾里德空間與埃爾米特空間] (PDF). （原始內容 (pdf)存檔於2010-06-01） （法語）.

外部連結

• 劉樹寬; 姚金江; 羅峰. 实正规矩阵正定的判定条件 (pdf). 濟寧師範專科學校; 臨沂師範學院. 2003 （中文（中國大陸））. ^{[永久失效連結]}
• 呂烔興. 正规矩阵的任意扰动] (PDF). 南京航空航天大學理學院. 2000 [2018-10-29]. 原始內容存檔於2016-03-04 （中文（中國大陸））.
• YouTube上的MIT OpenCourseWare 18.06線性代數中包含正規矩陣內容的一講