開世定理

在幾何學中，開世定理是歐幾里得幾何學中的一個定理，可以看做是托勒密定理的一個推廣結果。開世定理得名於愛爾蘭數學家約翰·開世。

敘述

${\displaystyle t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0}$

開世定理的背景是圓的內切圓。設有半徑為${\displaystyle \,R}$ 的一個圓${\displaystyle \,O}$，圓內又有四個圓${\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}$ 內切於圓${\displaystyle \,O}$（如右圖）。如果將圓${\displaystyle \,O_{i},O_{j}}$ 的外公切線的長度設為${\displaystyle \,t_{ij}}$，那麼開世定理聲稱，有下列等式成立。

${\displaystyle \,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}}$

可以注意到，如果四個內切的圓都退化成點的話，就會變成圓${\displaystyle \,O}$ 上的四個點，而開世定理中的等式也會化為托勒密定理。

證明

設大圓的圓心是點${\displaystyle \,O}$；四個圓的圓心分別是點${\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}$，半徑分別是${\displaystyle \,R_{1},R_{2},R_{3},R_{4}}$。每個圓與大圓${\displaystyle \,O}$ 的切點分別是${\displaystyle \,K_{1},K_{2},K_{3},K_{4}}$。

首先，根據勾股定理可以推出：對於任意的i 和j，都有

${\displaystyle \,t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}\qquad \qquad \qquad \cdots \,\,(1)}$

接下來的思路是將這個公式右邊的各個長度用${\displaystyle \,K_{i},K_{j}}$ 來表示。

考慮三角形${\displaystyle \,O_{i}OO_{j}}$，根據三角形的餘弦定理：

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}\qquad \qquad \qquad \cdots \,\,(2)}$

由於每個圓${\displaystyle \,O_{i}}$ 都和大圓相切，所以：

${\displaystyle {\overline {OO_{i}}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}}$

設點${\displaystyle \,C}$ 為大圓${\displaystyle \,O}$ 上的任意一點，根據三角形的正弦定理，在三角形${\displaystyle \,K_{i}CK_{j}}$之中，有：

${\displaystyle {\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}}$

所以，餘弦式

${\displaystyle \cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}}$

將以上${\displaystyle {\overline {OO_{i}}}}$ 與${\displaystyle \cos \angle K_{i}OK_{j}}$ 代入式子${\displaystyle (2)}$中，就可以得到：

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)}$

${\displaystyle =(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

${\displaystyle =((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

${\displaystyle =(R_{i}-R_{j})^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

再代入式子${\displaystyle (1)}$中，就得到${\displaystyle t_{ij}}$的表達式：

${\displaystyle t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}}$

以上等式對所有的i 和j 都成立，因此只要注意到四邊形 ${\displaystyle \,K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}}$ 是圓內接四邊形，那麼對其應用應用托勒密定理就可以得到開世定理：

${\displaystyle t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)=t_{13}t_{24}}$

證明完畢。

推廣

可以用類似的方法證明，只要當圓${\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}$ 與大圓${\displaystyle \,O}$ 相切（不論是外切還是內切），就會有類似開世定理的等式成立。這是需要註明，對任意的i 和j：

如果圓${\displaystyle \,O_{i},O_{j}}$ 是與大圓${\displaystyle \,O}$ 以同樣的方式相切（都是外切或者都是內切）的話，則${\displaystyle \,t_{ij}}$表示兩個圓的外公切線的長度；

如果圓${\displaystyle \,O_{i},O_{j}}$ 是與大圓${\displaystyle \,O}$ 以不同的方式相切（一個是外切而另一個是內切）的話，則${\displaystyle \,t_{ij}}$表示兩個圓的內公切線的長度。

另一個特點是：這定理的逆定理也成立。也就是說，如果開世定理的等式成立，那麼這些圓必定以規定的方式與大圓相切。^[1]

應用

在歐幾里得幾何學中，開世定理可以用來證明多種不同的結論。比如說費爾巴哈定理的一個簡潔證明中就用到了它。

註釋

1. Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry, p.123-125

參考書籍

• （英文） Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. Dover. 2007. ISBN 978-0-486-46237-0.，p.123-125 （1929年曾以《現代幾何學》（modern geometry）之名出版。）.
• （英文）O. Bottema, Reinie Erne. Topics in Elementary Geometry. Springer. 2008. ISBN 978-0-387-78130-3.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Casey's theorem. MathWorld.
• Shailesh Shirali: On a generalized Ptolemy Theorem^{[永久失效連結]}