三角學(英語:Trigonometry)是數學的一個分支,主要研究三角形,以及三角形中邊與角之間的關係。三角學定義了三角函數,可以描述三角形邊與角的關係,而且都是週期函數,可以用來描述週期性的現象。三角學在西元前三世紀時開始發展,最早是幾何學的一個分支,廣泛的用在天文量測中[1],三角學也是測量學的基礎。

所有關於某一角θ的三角函數都通過建立一個圓心為O的單位圓在幾何上來定義

三角學的基礎是平面三角學,研究平面上的三角形中邊與角之間的關係,分為角的度量、三角函數反三角函數、誘導公式、和與差的公式、倍角、半角公式、和差化積與積化和差公式、解三角形等內容,可能會是單獨的一個科目或是在預科微積分教授,三角函數在純數學應用數學中的許多領域中出現,例如傅立葉分析波函數等,是許多科技領域的基礎。

三角學也包括球面三角學,研究球面上,由大圓的弧所包圍成的球面三角形,位在曲率為正值常數的曲面上,是橢圓幾何的一部份,球面三角學是天文學航海的基礎,也在測量學、製圖學、結晶學、儀器學等方面有廣泛的應用。負曲率曲面上的三角學則是雙曲幾何中的一部份。

歷史

蘇美爾天文學家引入了角度測量,將一個圓分割為360度。[2]他們和之後的巴比倫人都在研究相似三角形各邊之間的比例關係,並發現了其中一部分比例,但是並沒有將其發展為一套系統的方法。古代努比亞人也使用了類似的方法。[3]古希臘人最早將三角學轉變成一套系統學科。[4]

穆斯林天文學家巴塔尼引入了我們今天熟知的正弦、餘弦、正切、餘切等術語,並且提出了正切[註 1]和餘切的概念。

明代末年,由於曆法改革的需要,西學東漸中陸續引進了幾何學、三角學等西方數學。這項工作仍在清朝繼續進行,其中最重要的是由波蘭傳教士穆尼閣薛鳳祚所介紹的對數方法。薛鳳祚所著《歷學會通》的數學部分主要是傳自穆尼閣的《比例對數表》(1653年)、《比例四線新表》和《三角算法》等各一卷。《比例對數表》和《比例四線新表》分別給出了1~10000的六位對數表和六位三角函數(正弦餘弦正切餘切)對數表。書中把今天所說的「對數」稱為「比例數」或「假數」,並簡單解釋了把運算化為運算的道理。這是對數方法在中國的首次介紹。對數是17世紀最重要的發現之一,它有效地簡化了繁重的計算工作。在對數、解析幾何微積分這三種當時西方最重要的數學方法中,也只有對數比較及時地傳入了中國。《三角算法》所介紹的平面三角和球面三角知識,比《崇禎曆書》中有關三角學的內容更豐富一些。如平面三角中包含有正弦定理餘弦定理正切定理半角定理等,且多是運用三角函數的對數進行計算。球面三角中增加半角公式半弧公式達朗貝爾公式納皮爾公式等。

概述

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在這個直角三角形當中:sin A = a/c; cos A = b/c; tan A = a/b

如果三角形的一個為90度,而另一個角的度數已知,那麼第三個角的度數也就固定下來了,這是因為任何一個三角形三個角的度數之和總是180度。這樣,兩個銳角的度數之和為90度:它們互為餘角。這樣的三角形形狀已經完全確定下來,它們是一組度數相同的相似三角形。在度數確定的情況下,每個邊之間的比例也就隨之確定,無論三角形大小。如果其中一個邊的長度又為已知的話,那麼其他兩條邊的長度也就確定。這些比例以三角函數形式表示出來,其中分別帶指三角形中對應三邊的長度:

  • 正弦函數(),定義為該角的對邊斜邊的比例。
  • 餘弦函數(),定義為該角的鄰邊與斜邊的比例。
  • 正切函數(),定義為該角的對邊與鄰邊的比例。

其中,斜邊是指直角三角形中90度角所對的邊;它是該三角形中最長的邊,也是角A的一個鄰邊。對邊是角A所對的一條邊。

這些函數的倒數分別被稱為餘割或cosec)、正割)和餘切):

它們的反三角函數分別為arcsinearccosinearctangent。這些函數之間存在的數學關係被稱為三角恆等式

通過使用這些函數,可以回答有關任意三角形的所有問題,只需使用正弦定理餘弦定理。在已知兩條邊長以及它們夾角的度數,或是兩個角的度數以及一條邊長,或是知道三邊長度後,使用這些法則可以計算出其他角和邊。

定義的擴展

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圖1a – 使用單位圓對於角θ的正弦和餘弦進行定義。

上面的定義只是用於度數在0°到90°之間的角(0到弧度)。使用單位圓,可以將它們擴展到所有度數為正、負的角上(參見三角函數)。三角函數為週期函數,週期為360°(個弧度)。這意味着在這個區間內,它們的值會反覆出現。正切和餘切函數週期較短,為180°(個弧度)。

三角函數還可以使用非上述集合定義來描述,如使用微積分無窮級數。採取這種定義,三角函數可以擴展到複數。其中,複數指數函數十分有用。

參見歐拉公式狄默夫公式

計算

三角函數是最早使用數學用表的。這樣的數學用表被納入數學課本中,供學生查詢數值和使用插值法得到更高精確度。計算尺在三角函數中有着特別的計量。如今的科學計算器已經配備有計算主要三角函數的功能,大多數電腦程式語言也提供函數庫來計算三角函數。

常用公式

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三角形的三邊a、b、c,以及它們的對角A、B、C。

一些有關三角函數的恆等式對於所有角都始終成立,被稱為三角恆等式。有一些恆等式是對於同一角的不同三角函數間的轉換。

標準恆等式

恆等式是指那些無論給定值為多少都始終成立的等式。在三角函數中存在如下恆等關係:

--- (1)
--- (2)
--- (3)

正弦定理

對於任意三角形的正弦定理(又被稱為「正弦法則」)公式如下[5]:p.110

其中,R是三角形外接圓的半徑長度:

另一個有關於正弦的法則可以用來計算三角形的面積。在給定兩條邊的長度以及它們所夾角的角度,該三角形的面積為:

餘弦定理

任意三角形的餘弦定理(又被稱為餘弦方程式、餘弦法則),是畢氏定理的一個擴展[5]:p.112

或者可以寫作:

正切定理

正切定理如下:

歐拉公式

歐拉公式定義,對於任意的,都有,於是產生了如下的對於e虛數單位i數學分析恆等式:

角度轉換公式

角度轉換公式也稱為和角公式或是和差公式,是有關二角和或差的三角函數的公式。

倍角公式以及半角公式

二倍角公式可以利用二角相等時的和角公式求得。

利用和角公式也可以推導三倍角公式、四倍角公式等。

半角公式可以利用餘弦函數的二倍角公式求得。

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